Представление чисел Системы счисления

цифровыми знаками.
Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:
возможность

представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
простоту оперирования числами.

имеет постоянный вес. Этот вес определяется позицией, которую разряд занимает

по отношению к запятой:
234,5610 = 2*102 + 3*103 + 4*104 + 5*10-1 + 6*10-2

Типы систем счисления:
- позиционные,
непозиционные.

системы счисления — количество знаков или символов, используе-мых для изображения

числа в данной системе:
p=10 → {ai} = 0,1, …,9;
p=2 → {ai} = 0,1;
p=5 → {ai} = 0,1,2.3.4;
P=16 → {ai} = 0,1, …,9,A,B,C.D,E,F;
p=q → {ai} = 0,1.,…,q-1

10 в своей системе.

представляется в виде:
A = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m =
=

При k = Const

получается число с фиксированной точкой:
k=0: правильная дробь – число с фиксированной запятой
A = a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m
k=r: целое число – число с фиксированной точкой
A = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0
При k ≠ Const получается число с плавающей запятой.

фиксированной запятой при т = 0



Из этого выражения следует,

что | X | макс = 0,1 ... 1 = 1—2-п,
а модуль минимального числа, не равного нулю:
| X | мин = 0,0 ...01 = 2-п.

\----------------- n+1 ------------------/

| X | макс = 0,1 ... 1 =

2п-1,
а модуль минимального числа, не равного нулю:
| X | мин = 0,0 ...01 = 20 = 1.

\----------------- n+1 ------------------/

входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения

Ам, т.е.
∆[А] = А - Ам.
Относительная погрешность представления числа – отношение его абсолютной погрешности к самому числу:
δ [А] = ∆[А] / А

младшего разряда числа.
Для правильных дробей:
∆[А] = 0.5* 2-n.
δ [А]мин

= ∆[А] / Амакс = (0.5 * 2-n)/ (1-2-n) ≈ 0.5 *2-n
δ [А]макс = ∆[А] / Амин = (0.5 * 2-n) / 2-n = 0.5
Для целых чисел:
∆[А] = 0.5* 20= 0.5.
δ [А]мин = ∆[А] / Амакс = 0.5 / (2п-1) ≈ 0.5 / 2п =0.5* 2-n
δ [А]макс = ∆[А] / Амин = 0.5 / 1 = 0.5

сложности выполнения арифметических операций,
объем оборудования, необходимый для представления чисел,

условия реализации (создания) оборудования для представления цифр.

одним элементом с p устойчивыми состояниями, a p элементами, каждый

из которых имеет одно устойчивое состояние, то показатель экономичности укажет условное количество оборудования, которое необходимо затратить на представление чисел в этой системе.

СС. В этом случае максимальное число М будет отвечать выражению
М

= рп - 1 ≈ рп (1)
Наряду с величиной М, являющейся мерой максимального количества информации, которое может быть представлено в п разрядах, оценим число элементов N, необходимое для изображения числа М:
N = pn (2)
Равенство (2) справедливо при условии, что для изображения каждого из допустимых в некотором разряде символов (цифр) требуется один элемент.
Определим N как функцию от р и М.
Из (1) следует, что п = In M/ln p. Подставляя это выражение в (2), получаем:
N = р In M/ln p.
Используя полученную зависимость, можно найти основание СС, при которой требуется минимум оборудования:
Nʹ = dN/dp = lnM*((ln p - 1)/ln2p)
Приравняв это значение к нулю, получим экстремум при р = е.
Так как при р = е Nʹʹ>0, то характер экстремума соответствует минимуму.
Таким образом, система при р = е требует минимума оборудования.

р = 2. Эти системы, согласно приведенной оценке, практически равноценны,

так как
N2/N3 = (2 ln3)/(3 ln2) ≈ 1,056
Подобное сравнение десятичной и двоичной систем показывает, что десятичная система в 1,5 раза менее экономична двоичной:

N10/N2 ≈ 1,5