Преобразование Фурье

форма ряда Фурье.
4.4. Интеграл Фурье.
4.5. Преобразование Фурье.
4.6. Синус- и косинус-преобразования.
4.7.

Энергия гармонического осциллятора.
4.15. Приложения преобразования Фурье.
4.16. Таблица преобразований Фурье.

инструменты гармонического анализа.
Вначале рассмотрим разложение в ряд Фурье функции x(t)

Величина T является периодом разложения, соответственно ω = 2π/T –

Легко проверить ортогональность базисных функций Фурье интегрированием.

для m=n; 2) для m≠n.

свойства ортогональности базисных функций.



Коэффициенты Ak, Bk равны:

ряд синусов, T=2, ω=π (здесь до k = 4).

функций cos(·).
При разложения четной функции ряд Фурье не содержат

(Т=2) :




















k = 1
k = 0
k = 2

:



















k = 3
k = 4

расходится, в этом случае говорят, что функция не разлагается в

t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении

4.2.Временная и частотные области сигнала

на графике коэффициентов (частотном графике) появятся точки (или отрезки в

0

1/2

ω

2ω

3ω

4ω

kω

Временная и частотные области сигнала

преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, которое преобразует сигнал в частотную функцию:





















0
1/2
ω
2ω
3ω
4ω
kω

Это

Временная и частотные области сигнала

форма ряда Фурье
Ряд Фурье принимает вид

ряд Фурье в комплексной форме:














































4.3. Комплексная форма ряда Фурье
Ck и

форма ряда Фурье
- спектр фаз
- спектр мощности (или энергии) сигнала

T = 2π/ω разложения. Ряд Фурье в комплексной экспоненциальной форме

и сумма

4.4. Интеграл Фурье

окончательно получаем интеграл Фурье:


















































































4.4. Интеграл Фурье
Вместе с интегралом Фурье рассмотрим

Если этот интеграл существует, то g(z) – нечетная функция по z. Если интегрировать эту функцию на интервале [A, -A]

с интегралом Фурье






















































































Теперь после внесения под общий знак интеграла и

Фурье-образом функции x(t), а функция x(t) называется Фурье-прообразом функции X(z).
По

переставить в формуле интегралы, то

t – вещественная, но подынтегральное выражение преобразования – функция комплексной

То есть вещественная функция вещественной переменной преобразуется в комплексную функцию от вещественной переменной.
В общем случае можно считать, что и t и z – комплексные переменные. Тогда преобразования Фурье – это преобразования на комплексной плоскости.

их Фурье-образ X(z) – тоже вещественная функция. При выводе преобразования

Представим cos z(t-u) как косинус суммы и получим

Второй интеграл по dz равен нулю как интеграл по симметричному отрезку от нечетной функции, поэтому

косинус-преобразованием. Косинус-преобразования переводят вещественную функцию в вещественную.

содержат множитель ?
получаем прямое и

x(t) можно представить как сумму ее косинус и синус-преобразований:










































































































4.6. Синус-

Если функция x(t) четная, то ее преобразование Фурье равно косинус-преобразованию ( синус-преобразование такой функции равно нулю).
Если функция x(t) нечетная, то ее преобразование Фурье равно синус-преобразованию, умноженному на мнимую единицу ( косинус-преобразование равно нулю).

Фурье сводится к косинус-преобразованию.















































































































4.6. Синус- и косинус-преобразования

сводится к косинус-преобразованию.























































































































4.7. Фурье-образ δ-функции

ее Фурье – образ к постоянной
- (для

4.7. Фурье-образ δ-функции

к постоянной
4.7. Фурье-образ δ-функции

функция стремится к δ – функции, а ее Фурье-образ к

4.7. Фурье-образ δ-функции

косинус-преобразование.























































4.7. Фурье-образ δ-функции
Определим прямоугольную функцию

получила специальное обозначение sinc t.
График этой функции

sinc t.

Фурье-образ :
Если ε → 0, то эта функция стремится

То есть снова получено, что преобразование Фурье δ-функции равно

Линейность F(a·f(t) + b·g(t)) = a·F(f(t)) + b·F(g(t)).
2. Свойство

4.8. Свойства преобразования Фурье

4. Преобразование интеграла

преобразования Лапласа :
Свойство 3 (преобразование производной) докажем применением замечательного предела












































































































4.8.

имеем особые точки, нужно показать, что
Это доказывается по определению

для экзамена)

при a=30

триг. функций
Тогда по свойству 2 (сдвиг)
По формуле Эйлера

Фурье для свертки

свойстве сдвига

Доказательство проводится заменой переменной в интеграле :































4.10. Преобразование

то получим формулу для преобразования произведения сигналов














































4.10. Преобразование Фурье для

сигнала ограничено. Для того, чтобы провести достоверный спектральный анализ сигнала,

4.11. Оконные функции

сигнал g(t) на интервале [-ε/2, ε/2]

этого произведения
В частности, если g(t) = cos(t), то

g(t) равна

могут использоваться различные оконные функции. Так, при применении оконной функции

получаем

- сложное аналитическое выражение, которое ближе к Фурье-образу сигнала cos(t), чем свертка с прямоугольной функцией.

университета
Figure 2.38 Effect of modulation in both the time and

frequency domain.

из основных инструментов, составляющих методы анализ сигнала. Позволяет оценить энергию

то равна этой величине. Тогда, по определению, работа, которую совершает

4.12. Равенство Парсеваля

- комплексное сопряженное к
Преобразование Фурье позволяет

4.12. Равенство Парсеваля

переменной t, а ее Фурье–образ X(z) – комплексная функция от

4.12. Равенство Парсеваля

Докажем равенство Парсеваля

Фурье-образы в последнем интеграле

Равенство Парсеваля
потому что в выражении через косинус- и синус-

= -z

интеграле

интегрирования
Выражение в скобках – это преобразование Фурье прямоугольного импульса

4.12. Равенство Парсеваля
Перейдем к пределу