Прямая на плоскости и в пространстве

линий в пространстве.
1. Общее уравнение прямой на плоскости.
3. Прямая с

угловым коэффициентом.

4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

2. Канонические уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

5. Параметрические уравнения прямой.

7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

6. Нормированное уравнение прямой.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ

π фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение

1-ой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию.

Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система 0ху и задано уравнение 1-ой степени:
Ах+Ву+С=0 (1).
Это уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение (х0;у0):
Ах0+Ву0+С=0 (2).
Вычитаем (1)-(2), получаем:
А(х-х0)+В(у-у0)=0 (3).
Уравнение (3) эквивалентно уравнению (1).

точку М0 (х0;у0) и перпендику-лярную вектору n={А;В}.
Пусть точка М (х;у)

лежит на указанной прямой, тогда векторы n={А;В} и М0М={х-х0;у-у0} ортогональны и их скалярное произведение равно нулю (т.е., n М0М=0): А(х-х0)+В(у-у0)=0.

Уравнение Ах+Ву+С=0 (1) с произвольными коэффи-циентами А, В и С такими, что А≠0 и В≠0 одновременно, называется общим уравнением прямой.

Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (1), ортогональна к вектору n={А;В}. Этот вектор называется нормальным.

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

х

у

0

L

М0(х0;у0)

М(х;у)

n

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

называть направляюшим вектором этой прямой.
Задача. Найти уравнение прямой, проходящей

через данную точку М1(х1;у1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l;m}.

х

у

0

L

М1(х1;у1)

q

М(х;у)

Пусть точка М (х;у) лежит на указанной пря-мой, тогда векторы q={l;m} и М1М={х-х1;у-у1} коллинеарны, т.е. координаты этих векторов пропорциональны:

Уравнение (4) – каноническое уравнение прямой на плоскости.

Заметим, что в каноническом уравнении (4) один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю.

Аналогично определяются канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М1 (х1;у1;z1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l;m;n}:

(5) - канонические ур-ия прямой в простр-ве.

угла наклона этой прямой к оси 0х.
Пусть рассматриваемая прямая пересекает

ось 0х в точке А.

0

х

у

L

М

N

А

α

Возьмем на оси 0х произвольную точку М, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось 0х, а на рассматриваемой прямой произвольную точку N, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось 0у.
Угол α=ﮮNAM назовем углом наклона данной прямой к оси 0х.

Если прямая параллельна оси 0х или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси 0х будем считать равным 0.

Тангенс угла наклона прямой к оси 0х назовем угловым коэффициентом этой прямой: k=tgα.
Для прямой ║-ой оси 0х: k=0.
Для прямой ┴-ой оси 0х: k=∞.

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1;у1) и имеющей данный угловой коэффициент k.

Утверждение. Если прямая не параллельна оси 0у и имеет направ-ляющий вектор q={l;m}, то угловой коэффициент этой прямой k=m/l.

Для того, чтобы вывести уравнение прямой, проходящей через заданную точку М1(х1;у1) и имеющей заданный угловой коэффициент k, умножим обе части канонического уравнения (4) на m и учтем, что m/l=k.
Получим: у-у1=k(х-х1); у=kх+b (7), b=у1-kх1.

Уравнение (7) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
b - представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси 0у, начиная от начала координат.

точки:
М1(х1;у1) и М2(х2;у2)

М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2)
Ур-ия прямой, проходящие через две данные точки, имеют вид:
(8)
Для их получения достаточно заметить, что прямая проходит через точки:
М1(х1;у1) и М2(х2;у2) М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2)
и имеет направляющий вектор:
q=М1М2={х2-х1;у2-у1} q=М1М2={х2-х1;у2-у1;z2-z1}
и воспользоваться каноническими уравнениями.

t каждое из отношений в канонических уравнениях (-∞

имеют вид:
(9)

Интерпретация. Если считать, что параметр t – это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (9) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью

(такое движение происходит по инерции).

n┴L, обозначим буквой Р точку пересечения указанных прямых. На прямой

n возьмем единичный вектор n, направление которого совпадает с направлением отрезка ОР.

0

х

у

L

Р

Θ

Цель: выразить уравнение прямой L через два параметра: 1) длину р отрезка ОР; 2) угол Θ между вектором n и осью 0х.

Так как n – единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид: .
Очевидно, что точка М(х;у) лежит на рассматриваемой прямой L тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на ось, определяемую вектором n, равна р, т.е. .

Так как n – единичный вектор, то в силу определения скалярного произведения:
.
Следовательно, точка М(х;у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению: хcosΘ+уsinΘ-р=0 (10)

6. Нормированное уравнение прямой.

Это и есть искомое уравнение прямой L, выраженное через два параметра: Θ и р. Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.

n

М

прямых.
Пусть две прямые заданы своими каноническими уравнениями:

Задача определения

угла между этими прямыми сводится к определению угла φ между их направляющими векторами q1={l1;m1} и q2={l2;m2} q1={l1;m1;n1} и q2={l2;m2;n2}:
(11)

Условие ║-ти эквивалентно условию коллинеарности q1 и q2, заключается в пропорциональности координат:

Условие ┴-ти: =>

параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть две прямые

заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Так как нормальными векторами этих прямых являются соответственно векторы n1={А1;В1} и n2={А2;В2}, то задача об определении угла между прямыми сводится к определению cosφ между n1 и n2:
(12)
Условие ║-ти прямых эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е.:

Условие ┴-ти прямых может быть получено из (12) (cosφ=0):

параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть две прямые

заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=k1х+b1 и у=k2х+b2 .
φ=α2-α1



Условие ║-ти прямых: k1=k2

Условие ┴-ти прямых: tgφ не существует, т.е.
1+ k1k2=0=> k2=-1/k1

0

х

у

α1

α2

φ

пересечения двух различных и не параллельных плоскостей, определяемых уравнениями можно

задать двумя уравнениями этих плоскостей:
(5)

Замечание. Для того, чтобы плоскости, определяемые уравнениями А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 не совпадали и не были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций:

Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М1 (х1;у1;z1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l;m;n}. Заметим, что точка М(х;у;z) лежит на указанной прямой тог-да и только тогда, когда векторы q={l;m;n} и М1М={х-х1;у-у1;z-z1} коллинеарны:
(6)-канонические уравнения.

произвольной точки М от данной прямой L.
Пусть

число d обозначает расстояние от точки М до прямой L. Назовем отклонением δ точки М от прямой L число +d в случае, когда точка М и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число –d в случае, когда точки М и О лежат по одну сторону от прямой L.
Если же начало координат лежит на прямой L, положим отклонение равным +d в случае, когда точка М лежит по ту сторону от L, куда направлен вектор n, и равным –d в противном случае.
Выясним геометрический смысл левой части уравнения хcosΘ+уsinΘ-р=0 для любых х и у.

Теорема. Левая часть нормированного уравнения прямой хcosΘ+уsinΘ-р=0 равна отклонению точки М(х;у) от прямой L, определяемой этим уравнением.

Доказательство. Спроектируем точку М на ось, определяемую вектором n. Пусть Q проекция точки М. Отклонение δ точки М от прямой L равно PQ:
δ=PQ=OQ-OP=OQ-p,
OQ=прnОМ=хcosΘ+уsinΘ,
δ=хcosΘ+уsinΘ –p.

Правило: для нахождения отклонения δ точки М(х0;у0) от прямой L следует в левой части нормированного уравне-ния прямой L подставить на место х и у координаты х0 и у0 точки М.

Это правило позволяет отыскать и расстояние от точки М до прямой L, ибо расстояние равно |δ|.

Укажем алгоритм приведения общего уравнения прямой к нормированному виду: для приведения общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 к нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель , знак которого противополо-жен знаку с.

х

у

0

n

Р

М

L

Q