Работа, энергия. Применение законов сохранения

движения тела массой m = 1 т от υ1 =

Дано:
m =1000 кг
u1 = 2 м/c
u2 = 2 м/c
F = 2 H
А = ?

Решение

Согласно определению, работа

F – внешняя сила , s – перемещение, α – угол между векторами силы и перемещения.

Выберем направление оси OX так, чтобы оно совпадало с направлением скорости тела (см.рис.). Скорость возрастает, следовательно, ускорение направлено вправо, а силы – так как показано на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось OX.

Отсюда

Величину ускорения найдем из кинематического уравнения:

движения тела массой m = 1 кг от υ1 =

Ответ: A = 36 Дж

Решение (продолжение)

Сила, действующая на тело, постоянна. Угол между векторами силы и перемещения равен нулю, cos0 = 1.

течение времени t = 1,43 с. Найти кинетическую энергию камня

Дано:
t = 1,43 c
m = 2 кг

Ek = ?
U = ?

Решение

1. Выберем начало отсчёта потенциальной энергии в точке падения камня (см. рисунок).

2. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то в системе действует только сила тяжести, которая является потенциальной. Следовательно, изменение полной механической энергии равно нулю (полная механическая энергия сохраняется)

U - потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести.

течение времени t = 1,43 с. Найти кинетическую энергию камня

Ответ: Ek = 98 Дж, ΔU = - 98 Дж.

Решение (продолжение)

Высоту, с которой падает тело найдём из кинематического уравнения движения:

В верхней точке тело покоится, следовательно в этой точке Ek = 0. Поэтому

= 0, скользит по наклонной плоскости высотой h = 0,5

Дано:
m = 3кг
υ0 = 0
h = 0,5 м
l = 1 м
υ = 2,45 м/c
μ - ?
Q - ?

Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то в системе действуют сила тяжести и сила упругости, которые являются консервативными и неконсервативная сила трения. Поэтому изменение полной энергии тела равно работе неконсервативной силы.

Тело движется в однородном поле силы тяжести, высота над землёй уменьшается, поэтому

Скорость движения тела возрастает от нуля до v, поэтому

υ0 = 0, скользит по наклонной плоскости высотой h =

Если считать, что количество выделившейся теплоты равно работе силы трения, то

Знак «-» указывает на то, что энергия в виде тепла выделилась, «ушла» из системы.

υ0 = 0, скользит по наклонной плоскости высотой h =

Чтобы определить величину коэффициента трения, найдём работу силы трения, пользуясь определением работы.

F – сила, s – перемещение, φ – угол между векторами силы и перемещения.

Чтобы найти силу трения, запишем второй закон Ньютона:

Величина силы трения скольжения Fтр = μN. В проекциях на оси координат (см. рисунок):

скорость υ0 = 0, скользит по наклонной плоскости высотой h

Из второго уравнения системы:

Величина силы трения

Работа силы трения

Угол между векторами силы трения и перемещения φ = 180̊, cos180̊ = -1.

υ0 = 0, скользит по наклонной плоскости высотой h =

cosα найдём из геометрических соображений:

Ответ: Q = -5,7 Дж, μ = 0,22.

на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m =

Дано:
M = 70 кг
m = 3 кг
υ = 8 м/с
μ = 0,02
s - ?

Скорость, которую приобретёт конькобежец, бросив камень, найдём из закона сохранения импульса. Запишем закон сохранении импульса в лабораторной системе отсчёта.

В проекции на ось OX (см. рисунок)

Отсюда величина скорости конькобежца после броска

Рассмотрим движение конькобежца после броска. Второй закон Ньютона:

коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m

Величина силы трения скольжения

Изменение полной механической энергии конькобежца равно работе неконсервативных сил, то есть работе силы трения.

коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m

Отсюда

Подставим в последнюю формулу найденное ранее выражение для скорости конькобежца u:

Ответ: S = 0,3 м.

жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000

Дано:
l = 1 м
α = 10̊
m1=1000 т
υ0 - ?

События, описанные в задаче, следует разделить на два процесса:
1) абсолютно неупругий удар пули о шар;
2) подъём шара с застрявшей в нём пулей на некоторую высоту.

1. Неупругий удар пули и шара.

Согласно закону сохранения импульса,

В проекциях на ось OX:

Отсюда

невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в

2. Подём пули и шара па высоту h.

На шар с пулей действуют только консервативные силы, поэтому изменение механической энергии шара

Кинетическая энергия шара с пулей уменьшилась.

Потенциальная энергия шара с пулей в поле силы тяжести увеличилась.

жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000

Решение (продолжение)

Отсюда

жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000

Решение (продолжение)

3. Высоту h выразим через угол α из геометрических соображений.

Из ΔAOС:

Подставим это в формулу для h:

Отсюда:

жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000

Решение (продолжение)

По условию масса шара в 1000 раз больше массы пули, поэтому в числителе дроби массой пули m можно пренебречь.

Ответ: v = 540 м/с.

высоты h1 = 1 м на стальную плиту, отскакивает от

Дано:
m=20 г
h1=1 м
h2=81 см
p - ?
Q - ?

Импульс, полученный плитой при ударе, определим из закона сохранения импульса:

импульс шара перед ударом;

импульс шара после удара.

импульс, полученный плитой;

В проекциях но ось OY:

Величина импульса, полученного плитой

величина скорости шара после удара.

величина скорости шара перед ударом;

h1=1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту

Скорости шара определим из закона сохранения энергии.

1. Рассмотрим процесс падения шара. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то на шар действует только консервативная сила тяжести. Поэтому изменение полной механической энергии равно нулю.

Кинетическая энергия шара увеличилась.

Потенциальная энергия шара в поле силы тяжести уменьшилась.

h1=1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту

2. Рассмотрим процесс подъёма шара. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то на шар действует только консервативная сила тяжести. Поэтому изменение полной механической энергии равно нулю.

Кинетическая энергия шара уменьшилась.

Потенциальная энергия шара в поле силы тяжести увеличилась.

h1=1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту

Величина импульса, полученная плитой:

h1=1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту

Выделившееся количество тепла определим из закона сохранения энергии.

3. Рассмотрим неупругий удар шара. На шар кроме консервативной силы упругости действуют неконсервативные силы. Поэтому изменение полной механической энергии не равно нулю. Будем считать, что вся выделившаяся энергия перешла в тепло.

Знак «-» указывает на то, что энергия системы уменьшилась, то есть тепло выделилось.

Ответ: p = 0,17 (кг·м)/с; ΔQ = - 0,037 Дж.

камень массой m = 2 кг. Тележка с человеком покатилась

Дано:
m = 2 кг
υ = 0,1 м/с M = 100 кг
t = 0,5 с
Ek = ?

Решение

Скорость, которую приобретёт тележка с человеком, найдём из закона сохранения импульса. Запишем закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчёта.

В проекции на ось OX (см. рисунок)

Отсюда величина скорости камня после броска

камень массой m = 2 кг. Тележка с человеком покатилась

Решение (продолжение)

После броска камень движется в однородном поле силы тяжести. Его движение вдоль оси OX равномерное, вдоль оси – равноускоренное с ускорением, равным g и направленным вниз.

Через t = 0,5 с после броска скорость камня имеет две компоненты:

Кинетическая энергия камня:

Движение камня вдоль оси OX равномерное, поэтому

камень массой m = 2 кг. Тележка с человеком покатилась

Ответ: Ek = 49 Дж.

Решение (продолжение)

Вдоль оси OY движение равноускоренное с ускорением, равным g и направленным вниз поэтому

м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть

Дано:
Н = 8 м
h0 = 0,5 м
H0 = 1 м
h - ?

Решение

Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то на акробата действуют силы тяжести и упругости. Обе эти силы консервативны. Поэтому изменение полной механической энергии равно нулю.

В начале и в конце прыжка скорость акробата рано нулю, поэтому изменение кинетической энергии равно нулю.

Потенциальная энергия акробата в поле силы тяжести уменьшилась.

Для прыжка высоты H0:

м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть

Решение (продолжение)

Изменение потенциальной энергии упругой сетки можно определить как

где x – абсолютная деформация сетки, k – её коэффициент жёсткости. Для прыжков с разных высот

Для прыжка высоты H:

Для прыжка высоты H0:

Потенциальная энергия деформированной сетки возрастает в обоих случаях.

м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть

Решение (продолжение)

Изменение механической энергии для прыжка высоты H:

Для прыжка высоты H0:

Таким образом, получаем два уравнения:

Разделив первое уравнение на второе, получим:

м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть

Ответ: h = 1,2 м.

Решение (продолжение)

Высотв над землёй должна быть положительна, поэтому

высотой h = 0,4 м плавает в воде. Какую работу

Дано:
S = 1 м2
h = 0,4 м

A = ?

Решение

Первоначально льдина плавает, то есть находится в положении равновесия. Векторная сумма сил, приложенных к льдине, равна нулю.

Здесь FA0 – сила Архимеда, действующая на льдину в положении равновесия. Величина этой силы

где ρ0 – плотность воды, V0 – объём части льдины, погружённой в воду.

По мере погружения льдины в воду объём погружённой части будет расти. Следовательно, будет расти и сила Архимеда, действующая на льдину.

Если мы хотим погружать льдину очень медленно (без возрастания её кинетической энергии), то мы должны прикладывать к ней такую внешнюю силу F, чтобы в каждый момент времени можно было считать, что льдина находится в равновесии.

высотой h = 0,4 м плавает в воде. Какую работу

Решение (продолжение)

Пусть льдина погружена на некоторую глубину x. По сравнению с положением равновесия сила Архимеда возросла.

Векторная сумма сил, приложенных к льдине, равна нулю.

- объём, ушедший под воду в процессе принудительного погружения льдины под действием силы F.

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх,

Но, как было показано ранее,

поэтому,

высотой h = 0,4 м плавает в воде. Какую работу

Решение (продолжение)

Таким образом, сила, которую следует прикладывать для очень медленного погружения льдины равна

С ростом глубины погружения величина прикладываемой силы должна возрастать.

Работу этой переменной силы вычислим по формуле

Величина вектора перемещения в данном случае равна глубине погружения льдины:

Направление вектора перемещения в данном случае совпадает с направлением силы,

Пределы интегрирования:

глубина, на которую погружена плавающая льдина.

высотой h = 0,4 м плавает в воде. Какую работу

Решение (продолжение)

Работа по погружению льдины

Графически работа численно равна площади треугольника на рисунке.

Чтобы определить величину h0, вернёмся к рисунку 1.

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх,

ρ - плотность льда.

высотой h = 0,4 м плавает в воде. Какую работу

Решение (продолжение)

Окончательно, работа по погружению льдины

Ответ: А = 7,84 Дж.