Решение неравенств с одной переменной

переменной
Алгебра
8

класс

Яковлева Любовь Викторовна,
МБОУ «Самосдельская СОШ
им. Шитова В. А.»

Цели урока:

ввести понятия «решение неравенства», «равносильные неравенства»;
познакомиться со свойствами равносильности неравенств;
рассмотреть решение линейных неравенств вида ах > b, ax < b;
научиться решать неравенства с одной переменной, опираясь на свойства
равносильности.

Публий Сир

или >, чтобы неравенство было верным:

1) -5а □ - 5b
2)

5а □ 5b
3) a – 4 □ b – 4
4) b + 3 □ a +3

10
- 6,5
- 4
- 3,1

(- ∞; 3)
(2; +

∞)

4

2

не существует

Ответ: (- ∞; 7)
7
y < 2,5 Ответ: (- ∞; 2,5)
2,5

Сюньцзы

в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы

числа «пи».

Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического.

1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше»

и «меньше» знаки неравенства < и >, употребляемые и поныне.

Символы  и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром. 

вот о чём мой стих.
Неравенства такая штука – без правил

не решить!
Я тайну всех неравенств попробую открыть.

4 5 • 4

– 11 > 3; 9 > 3 – верно;
при х = 2 5 • 2 – 11 > 3, - 1 > 3 – неверно;


Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

его в верное числовое неравенство.
Являются ли числа 2; 0,2 решением

неравенства:
а) 2х – 1 < 4;
б) - 4х + 5 > 3?

Решить неравенство – значит найти все
его решения или доказать, что их нет.

решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, тоже считают равносильными

2х – 6 > 0 и равносильны х > 3

х2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 < 0 равносильны нет решений
3х – 6 ≥ 0 и 2х > 8 неравносильны
х ≥ 2 х > 4

из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным

знаком, то получится равносильное ему неравенство.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Федр

3(2х – 1) > 2(х + 2)

+ х + 5.

Раскроем скобки
приведём подобные слагаемые:
Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а
в правой - без переменной:
Приведём подобные слагаемые:
Разделим обе части неравенства на положительное число 3,
сохраняя при этом знак неравенства:

6х – 3 > 2х + 4 + х + 5
6х – 3 > 3х + 9


6х – 3х > 9 + 3



3х > 12



х > 4



4 х

Ответ: (4; + ∞)

> 2.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель

дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6:
Приведём подобные слагаемые:
Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак неравенства на противоположный:

- > 2 • 6
2х – 3х > 12
- х > 12
х < - 12
- 12 х

Ответ:(- ∞; -12)

12, - х > 12

Решения неравенств ах > b

или ах < b при а = 0.
Пример 1. 0 • х < 48
Пример 2. 0 • х < - 7

Линейное неравенство вида 0 • х < b или 0 • х > b, а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений, либо его решением является любое число.

Неравенства вида ах > b или ах < b, где а и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Ответ: х – любое число.

Ответ: нет решений.

скобки и привести подобные слагаемые.
Сгруппировать слагаемые с переменной в левой

части неравенства, а без переменной – в правой части, при переносе меняя знаки.
Привести подобные слагаемые.
Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.
Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.
Записать ответ в виде числового промежутка.

Устные упражнения
Знак изменится, когда

неравенств обе части
Делить на с минусом число

1) – 2х < 4
2) – 2х > 6
3) – 2х ≤ 6

Решите неравенство:

4) – х < 12
5) – х ≤ 0
6) – х ≥ 4

х > - 2
х < - 3
х ≥ - 3

х > - 12
х ≥ 0
х ≤ - 4

Устные упражнения
Найдите решение неравенств:

1) 0 • х < 7
2) 0 • x < -7 не имеет решений
3) 0 • х ≥ 6
4) 0 • х > - 5
5) 0 • х ≤ 0 х - любое число
6) 0 • x > 0

узнал.

Мольер