Решение заданий молодёжного математического чемпионата 2008 год 10-11 классы

молодёжного

математического чемпионата 2008 год 10-11 классы

Готлиб Людмила Кирилловна, учитель математики школы № 12 г. Соликамска Пермского края

Чему равен косинус наименьшего угла такого треугольника?

(3 б.)

Решение.
Данный треугольник может быть египетским с катетами 3к, 4к и гипотенузой 5к (коэффициент к Є N); тогда разность прогрессии равна числу к. Наименьший угол треугольника  лежит напротив меньшего катета 3к; к углу  прилежит катет 4к, гипотенуза равна 5к.
Поэтому cos α = 4/5 = 0,8.
3к 5к
Ответ: 0,8.
4 к



cos 3  tg 4 и b =

cos 5. Сравните числа с нулём и друг с другом . (3 б.)

Решение.
• Угол в 2 радиана оканчивается во второй четверти, поэтому sin 2  0;
• угол в 3 радиана оканчивается во второй четверти, поэтому cos 3  0;
• угол в 4 радиана оканчивается в третьей четверти, поэтому tg 4  0; значит, число а  0;
• угол в 5 радиан оканчивается в четвёртой четверти, поэтому cos b  0.
Ответ: а  0, b  0; a  b.

. Найдите его площадь и радиус вписанной

окружности. (3 б.)

Решение.
1) Определим вид треугольника: 22 + (2 )2 = 42, т.е. 16 = 16, поэтому в силу теоремы Пифагора данный треугольник – прямоугольный с катетами 2; 2 и гипотенузой 4.
2) а) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. S = (2 ∙ 2 ) : 2 = 2 ;
б) радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле: r = (а + в – с) : 2,
т.е. r = (2 + 2 – 4) : 2 = (2 – 2) : 2 = – 1.
Ответ: s = 2 ; r = – 1.

10 из них не знали ни немецкого, ни французского

языков, 35 знали немецкий язык, 73 знали французский. Сколько туристов знали оба иностранных языка? (3 б.)

Решение.
100 – 10 = 90 (чел.) знали или немец., или франц., или оба языка;
90 – 35 = 55 (чел.) знали только франц.;
73 – 55 = 18 (чел.) знали оба языка. Ответ: 18.

73
с
франц.

35
с
немец.

Знали языки всего 90 чел.

только
франц.

только
немец.

франц.
+
немец.

Чему равна сумма третьего и седьмого членов этой прогрессии? (3 б.)

Решение.
Выпишем несколько членов прогрессии
9
а1, а2, а3 , а4, а5, а6, а7
и воспользуемся свойством арифметической прогрессии:
каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому (полусумме) равноудалённых от него членов, т.е. а5 = (а3 + а7) : 2 => 9 = (а3 + а7) : 2 =>
=> а3 + а7 = 18.
Ответ: 18.

Б) функция нечётная;

В) линия, не являющаяся графиком функции. (3 б.)

Решение.
Данная линия расположена так,
что для каждого значения
аргумента х (кроме х = 0)
имеется по два значения функции у, что не соответствует
определению функции:
«Для каждого значения
переменной х из области определения
функции существует единственное
значение переменной у».
Ответ: В).

· sin 2

π х = 0 ? (3 б.)

Решение.
ОДЗ: 4 – х 2 ≥ 0 => х є [ - 2; + 2 ];
= 0 или sin 2 π х = 0
4 – х 2 = 0 sin π х = 0
х 2 = 4 π х = π n, n є Z
х 1, 2 = ± 2 х = n, n є Z
3) ± 2 є ОДЗ целые n є [ - 2; + 2 ] (ОДЗ!)
2 корня n = { - 2; - 1; 0; 1; 2 }
5 корней
Ответ: 5 корней.

а х 2 – х + 1 = 2 х 2 имеет единственный действительный корень? (3 б.)

Решение.
1) Запишем данное уравнение как квадратное относительно переменной х: ах2 – х + 1 = 2х2 => (а – 2)х2 – х + 1 = 0 (*); здесь а – 2 ≠ 0, т.е. а ≠ 2; квадратное уравнение имеет единственный действительный корень, если его дискриминант равен нулю. Найдём дискриминант: D = (-1)2 – 4·(а – 2)·1 = 1 – 4а + 8 = = 9 – 4а; приравняем его к 0, т.е. 9 – 4а = 0 => а = 2,25. 2) Уравнение (*) является линейным при а – 2 = 0, т.е. при а = 2, и имеет вид: – х + 1 = 0 => х = 1 – также единствен. корень.
Ответ: при а = 2 и а = 2,25.

(4 б.)

Решение.
1) Т.к. данное выражение меньше нуля, то обозначим = – р, где р > 0.
После умножения уравнения на (- 1) возведём его в квадрат:
= р 2

= р 2
32 – 2 ∙ = р 2
32 – 2 ∙ = р 2 => р 2 = 30 => р = ± ;
3) т.к. данное выражение отрицательно, то оно равно – .
Ответ: – .

( х – 1)2 ; у3 =

. Какие утверждения верны: А) графики всех функций совпадают; Б) графики всех функций различны; В) графики двух функций совпадают? (4 б.)

(х – 1)2

Ответ:
Б).

«Квартет»: Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка

а) по прямой линии; б) по кругу? (4 б.)

Решение. Занумеруем и героев басни, и стулья соответственно 1, 2, 3, 4;
а) составим все возможные комбинации из этих цифр при посадке по прямой линии:
1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 3
1 2 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 3 2
1 3 2 4 2 3 1 4 3 2 1 4 4 2 1 3
1 3 4 2 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1
1 4 2 3 2 4 1 3 3 4 1 2 4 3 1 2
1 4 3 2 2 4 3 1 3 4 2 1 4 3 2 1 Всего 24
б) составим все возможные комбинации из этих цифр при посадке по кругу:

Всего 24
Ответ: а) 24; б) 24.

1 2
4 3

1 4
2 3

1 4
3 2

1 3
2 4

1 3
4 2

1 2
3 4

(4 б.)

Решение.
1) ОДЗ: 1 – |х| ≥ 0 и 1/3х ≥ 0; отсюда |х| ≤ 1 и х > 0;
далее х є [ - 1; + 1 ] и х > 0; значит, х є ( 0; 1 ].
2) Т.к. на ОДЗ обе части равенства неотрицательны, возведём его в квадрат: 1 – |х| = 1/9х2 => х2 – х3 = 1/9 =>
=> х2 – 1/9 = х3.
Обозначим у1 = х2 – 1/9; у2 = х3 и схематически построим на (0;1] графики функций. Постройте!
Заметим, что у1(0) = - 1/9, у2(0) = 0, т.е. у1 < у2; у1(1/2) = 5/36 , у2(1/2) = 1/8, т.е. у1 > у2; у1(1) = 8/9, у2(1) = 1, т.е. у1 < у2;
итак, графики функций у1 и у2 пересекаются в двух точках,
поэтому данное уравнение имеет два решения.
Ответ: 2 корня.

2 + 1/3 – 1/4 + 1/9 + 1/16 + . . . . (4 б.)

Решение.
Выясним, являются ли слагаемые данного выражения членами арифметической прогрессии: пусть а1 = 1/3; а2 = - 1/4; а3 = 1/9; а4 = 1/16; тогда разность прогрессии d = а2 – а1 = - 1/4 – 1/3 = - 7/12; по-другому d = а3 – а2 = 1/9 – ( - 1/4 ) = 13/36; значит, это не арифметическая прогрессия.
Возможно, данные слагаемые являются членами прогрессии геометрической. Пусть в1 = 1/3; в2 = - 1/4; в3 = 1/9; в4 = 1/16; тогда знаменатель прогрессии q = в2 : в1 = - 1/4 : 1/3 = - 3/4; по-другому q = в3 : в2 = 1/9 : ( - 1/4) = - 4/9; значит, это не геометрическая прогрессия.
ЗАМЕЧАНИЕ ! Прогрессии являются монотонными, т.е. возрастающими или убывающими последовательностями чисел. Данные числа не обладают этим свойством.
Ответ: значение выражения не существует.

2 + 1/3 – 1/4 + 1/9 + 1/16 + . . . . (4 б.)

Решение.
Многоточие в конце суммы чисел – правильных дробей – приводит к мысли о возможном наличии в данном выражении бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пусть числа 1/9 и 1/16 – последовательные члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда её знаменатель q = 1/16 : 1/9 = 9/16; значит, 1-й член прогрессии в1 = 1/9 : 9/16 = 16/81.
Представим данное выражение в виде
( 2 + 1/3 – 1/4 – 16/81 ) + ( 16/81 + 1/9 + 1/16 + . . . ) =
= ( 2 1/12 – 16/81 ) + ( 16/81 : ( 1 – 9/16 ) ) = . . . = 2 85/252. (?)
В задании приведены ответы:
А) 3,2 Б) 2,3 В) 2,5 Г) не существует.
Поэтому данное задание можно считать некорректным!

(от 101 до 200 включительно) делится на 5, но не делится на 7? (4 б.)

Решение.
1 способ. Отбор искомых чисел из всех, удовлетворяющих условию задачи.
Выпишем натуральные числа из второй сотни, которые делятся на 5:
105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150,
155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200. Их всего 20.
2) Из них на 7 делятся только 3 числа: 105, 140 и 175.
Таким образом, 20 – 3 = 17 чисел из второй сотни делятся на 5, но не делятся на 7.
Ответ: 17.

(от 101 до 200 включительно) делится на 5, но не делится на 7 ? (4 б.)

Решение.
2 способ. Нахождение количества чисел, удовлетворяющих условию задачи, с помощью решения неравенств.
1) Для нахождения количества натуральных чисел из второй сотни, кратных пяти, решим неравенство: 101 ≤ 5 n ≤ 200 => 20,2 ≤ n ≤ 40 => n 5 = 20.
Найдём количество натуральных чисел из второй сотни, которые делятся одновременно и на 5, и на 7, т.е. на 35:
101 ≤ 35 n ≤ 200 => 2, … ≤ n ≤ 5, … => n 35 = 3.
Количество искомых чисел: 20 – 3 = 17.
Ответ: 17.

переставить на последнее место, то получится новое

трёхзначное число. Сумма этих чисел равна 563, а разность 279. Найдите сумму цифр любого из этих чисел. (4 б.)

Решение.
1) Пусть данное число а в с = 100 а + 10 в + с, тогда новое число в с а = 100 в + 10 с + а;
2) составим и решим систему уравнений
100 а + 10 в + с + 100 в + 10 с + а = 563,
100 а + 10 в + с – 100 в – 10 с – а = 279;
после почленного сложения уравнений получим
200 а + 20 в + 2 с = 842,
после деления уравнения на 2 получим 100а + 10в + с = 421, т.е.
а в с = 421; значит, сумма цифр данного числа равна 4 + 2 + 1 = 7.
Ответ: 7.

лежащих на промежутке [- 6; 6]? (4 б.)

Решение.
Решим данное неравенство: при х ≠ - 3 оно равносильно
совокупности: х = 0 или х – 2 ≥ 0 => х = 0 или х ≥ 2 .
Для ответа на вопрос задачи решим смешанную систему х = 0,
х ≥ 2, * * * * * *
х є [ - 6; 6 ]; - 6 0 2 6 х

Целые решения, входящие в полученное множество, таковы:
0, 2, 3, 4, 5, 6. Их число равно 6.
Ответ: 6 целых решений.

вершины параболы у = х2 – 12х +

р + 36 до начала координат будет равно 10? (4 б.)

Решение.
1) • Ветви параболы направлены вверх ( а = 1, т. е. а > 0);
• абсцисса вершины параболы: х 0 = - в/2а = 12/2 = 6;
• т.к. расстояние от вершины параболы до начала координат
равно 10, то согласно теореме Пифагора ордината вершины параболы у0 = ± = ± 8. Постройте графики!
2) Для вычисления значений параметра р подставим в данную функцию координаты вершин парабол:
а) вершина ( 6; 8 ); 8 = 6 2 – 12 ∙ 6 + р + 36 => р = 8;
б) вершина ( 6; - 8 ); - 8 = 6 2 – 12 ∙ 6 + р + 36 => р = - 8.
Ответ: р = ± 8.

выражения

. (4 б.)

Решение.
Обозначим выражение буквой А; sin 5 = - a; cos 4 = - b (а; в > 0).
2) А =
=
= = – 1 + 2 – 4 = – 3. Ответ: – 3.

∙ ( ). (5 б.)

Решение.
Преобразуем 1-й множитель:
= = =
= | | = , т.к. > 0.
Преобразуем 2-й множитель: = 2 ∙ ( ).
Перемножим полученные результаты:
2 ∙ = 2 ∙ ( 9 – 8 ) = 2.
Ответ: 2.

так, что его вершины

делят стороны первого квадрата в отношении 1:3. Во второй квадрат аналогичным образом вписан третий и т.д. Найдите сумму площадей всех таких квадратов. (5 б.)

а1 = 1 Решение.
3 х
а2 х

а3

3х √10 : 4 х √10 : 4
3 х х а1 = 4 х а2 = х √10 а3 = 10 х/4

Введём обозначения (см. рисунок).
а 1 = 4 х => S1 = (4 х) 2 = 16 х 2 ;
S 2 = ( а2 )2 = (3 х ) 2 + х 2 = 10 х 2 ;
S 3 = ( а3 )2 = (х √10/4) 2 + (3х √10/4) 2 =
= (10х 2 + 90х 2 ) : 16 = 100 х 2/16 ;
Числа: S1 , S2 , S3 являются членами
б / уб. геометрической прогрессии с
в1 = 16х2 = 1 и q = 10/16 = 5/8;
Вычислим S n = в1 : ( 1 – q ) = 1 : 3/8 = = 8/3.
Ответ: 8/3.

собой 5 монет так, чтобы каждый получил хотя

бы одну монету? (5 б.)

Решение.
Обозначим число монет цифрами 1, 2, 3.
Т.к. имеется всего 5 монет, то возможными способами их разделения между 3-мя пиратами будут следующие:
1) 1 1 3 2) 1 3 1 3) 1 2 2
4) 2 1 2 5) 2 2 1 6) 3 1 1,
т.е. всего 6 способов.
Здесь в каждой строчке: на 1-м месте – число монет у первого пирата,
на 2-м месте – число монет у второго пирата,
на 3-м месте – число монет у третьего пирата.
Ответ: 6 способов.

=

Построим её график: у
у = 3
0 2 х
Ответ: Б); Д). у = – 3

22. Дана функция Какие утверждения для функции верны: А) на всей области определения функция постоянна; Б) на промежутке (2; + ∞) значение функции равно – 3; В) функция монотонно возрастает; Г) функция монотонно убывает; Д) в точке х = 2 функция терпит разрыв? (5 б.)

– 3 при х > 2,
3 при х < 2, х ≠ 0.

произведение соответственно равны 11 и 21.

(5 б.)

Решение.
1) Обозначим одно число а, другое в,
тогда сумма их кубов имеет вид:
а3 + в3 = (а + в)3 – 3ав  (а + в) (*);
подставим в правую часть равенства вместо суммы чисел а и в число 11,
а вместо произведения чисел а и в число 21:
(*) = 113 – 3  21  11 = 11  ( 112 – 3  21) =
= 11  (121 – 63) = 11  58 = 638.
Ответ: 638.

ctg3x = ctg5x на отрезке [0; 2π]. (5 б.)

Решение.
Решим данное уравнение: сtg3x = ctg5x => ctg3x – ctg5x = 0 =>
=> => =>
2) => => =>

sin 2x = 0
sin 3x ≠ 0
sin 5x ≠ 0

2x = πn, n Є Z
3x ≠ πk, k Є Z
5x ≠ πm, m Є Z

y



0 x

x = πn/2, n Є Z
x ≠ πk/3, k Є Z
x ≠ πm/5, m Є Z

Ответ: x = 3π/2.

π/2

π/5

π/3

0

π

3π/2

2π

Какая система соответствует этому рисунку?

(5 б.)

Решение (устно).
А) (х – 1)2 + (у – 1)2 > 1, у
(х – 1)2 + (у – 1)2 ≤ 9;
Б) (х + 1)2 + (у – 1)2 > 1,
(х + 1)2 + (у – 1)2 ≤ 9;
В) (х + 1)2 + (у – 1)2 > 1,
(х + 1)2 + (у – 1)2 ≤ 3; х
Г) (х + 1)2 + (у – 1)2 < 1,
(х + 1)2 + (у – 1)2 ≥ 9;
Д) х2 + у2 + 2(х – у) > – 1, х2 + у2 + 2(х – у) ≤ 6. Ответ: Б)

1

1

•

-1

0

треугольная пирамида? (5 б.)

Выберите верный ответ из предложенных: А) 0 Б) 1 В) 2 Г) 3 Д) 4.
Решение.
0: ни один из треугольников (граней пирамиды) не содержит прямого угла;
1: прямоугольный треугольник только в основании или в боковой грани;
2: а) только 2 боковые грани содержат прямой угол; б) прямой угол в основании и в боковой грани;
3: основание и 2 боковые грани – прямоугольные треугольники;
4: две боковые грани перпендикулярны основанию; в основании – прямоугольный треугольник, который является проекцией боковой грани с прямым углом ( теорема о 3-х ).
Ответ: А), Б), В), Г), Д). Выполните чертежи!

х 2 + 2 х – 2/х + 1/х 2 = 1. (5 б.)

Решение.
После группировки получим: (х2 + 1/х2) + 2 (х – 1/х) = 1.
Замена: х – 1/х = у => х2 – 2 х ∙ 1/х + 1/х2 = у2 =>
=> х2 + 1/х2 = у2 + 2.
Решим уравнение (у2 + 2) + 2у = 1 => у2 + 2у + 1 = 0,
D = 0, у = - 1.
Обратная замена: х – 1/х = - 1;
после умножения на х ≠ 0 получим х2 + х – 1 = 0; D = 5,
по теореме Виета сумма корней уравнения х1 + х2 = - 1.
Ответ: - 1.

с периодом Т = 1;
Б) функция не является

периодической;
В) функция совпадает с функцией у = х + 1 ;
Г) имеет такой же период, как и функция у = х + 1 ;
Д) является периодической с периодом, равным любому целому числу.
Решение.
После упрощения при х ≠ - 1 получим функцию: у = х – 1 .
Построим её график по точкам: у
х -3 -2 -1 0 1 1,5 2 2,5 3 1
у 0 0 – 0 0 0,5 0 0,5 0
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 х

Ответ: Б).

28. Дана функция у = (5 б.) (здесь знаком обозначается дробная часть числа).

мать функция у = (х2 – 6х + 8)

: (х2 – 6х + 10)? (5 б.)

А) ( – ∞; + ∞) Б) [ – 1; 1] В) [ – 1; 1) Г) [ – 3; – 1) Д) [ 1; 3).
Решение.
1) Преобразуем данную функцию выделением из дробной части целой части с помощью почленного деления первого выражения на второе: у = ( ( х2 – 6х + 8 + 2 ) – 2 ) : ( х2 – 6х + 10 ) = = ( ( х2 – 6х + 10) – 2 ) : ( х2 – 6х + 10 ) = 1 – 2 : ( х2 – 6х + 10 ). 2) Выполним оценку полученного выражения: а) выделим квадрат: х2 – 6х + 10 = (х2 – 6х + 9) + 1 = (х – 3)2 + 1  1; б) 1  (х – 3)2 + 1  +  => ↓ 0  1 : ((х – 3)2 + 1)  1 => => ↓ – 2  – 2 : ((х – 3)2 + 1)  0 => – 1  1 – 2 : ((х – 3)2 + 1)  1;
получили у   – 1; 1). Ответ: В).

|х2 – 4х – 5| = m имеет ровно три

корня? (5 б.)

Решение.
Решим уравнение графически:
а) обозначим у1 = |х2 – 4х – 5|, где у1 ≥ 0;
• нули функции: х1 = - 1; х2 = 5;
• вершина параболы у = х2 – 4х – 5 в точке (2; - 9);
• пересечение параболы у = х2 – 4х – 5 с осью Оу в точке (0; -5);
поэтому функция у1 = |х2 – 4х – 5| имеет минимумы
в точках с координатами (- 1; 0) и (5; 0),
а максимум в точке (2; 9);
б) обозначим у2 = m – семейство параллельных оси Ох прямых;
в) графики функций у1 и у2 пересекаются в трёх точках при
m = 9. Убедитесь в этом по графикам! Ответ: 9.