Слайд 1Сечение пирамиды
Анастасия Изместьева
12 класс
Слайд 2История
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне,
однако активное развитие получило в Древней Греции.
Слайд 3Учёные
Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а
доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде
в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.
Слайд 4Значение в математике
Пирамидой называется многогранник, у которого одна
грань является многоугольником, а все остальные грани – треугольники с
общей вершиной.
Слайд 5Формулы
Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
где
S — площадь основания и h — высота;
Боковая
поверхность — это сумма площадей боковых граней:
Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:
Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
где a — апофема , — P периметр основания, n — число сторон основания, b — боковое ребро, a— плоский угол при вершине пирамиды.
Слайд 6Применение в жизни
Пирамида — вид архитектурного сооружения в форме пирамиды.
Финансовая пирамида —
способ получения дохода за счёт постоянного расширяющегося привлечения денежных средств
от новых участников.
Пирамида — элемент художественной, силовой и пластической акробатики, групповое расположение акробатов, которые, поддерживая друг друга, образуют сложные фигуры.
Слайд 7Пирамида в архитектуре
Пирамида в спорте
В экономике
Слайд 8Решение задач
В разделе “Свойства сечения пирамиды плоскостью,параллельной основанию “ придлогается
для рассмотрения 2 теоремы .
Теорема1.Сечение пирамиды плоскостью,параллельной основанию, является многоугольником,
подобным основанию.
Теорема2.Отношение площади основания пирамиды к площади её параллельного основанию сечения равно отношению квадратов высот соответствующих пирамид.
Слайд 9Рассмотрим каждую теорему
Теорема1.Сечение пирамиды плоскостью,параллельной основанию, является многоугольником, подобным основанию.
Доказательство.
Два
многоугольника подобны, если их соответственные стороны пропорциональны и соответственные углы
равны. Углы рассматриваемых многоугольников, вершины которых расположены на одном и том же ребре, равны, так как их стороны параллельны и одинаково направлены.Согласно теореме Фалеса параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки .Поэтому A1SB1~ASB,B1SC1 ~ BSC и, следовательно , A1B1/AB = SB1/SB и B1C1/BC = SB1/SB ,откуда A1B1/AB = B1C1/BC
Последнее равенство означает ,что для одной пары соответственных и равных углов прилежащие к ним соответственные стороны многоугольников пропорциональны .Аналогично доказательству равенство всех остальных соответственных углов и пропорциональность соответственных сторон: A1B1/AB = B1C1/BC = C1D1/CD= D1E1/DE= E1A1/EA
Слайд 10Теорема2.Отношение площади основания пирамиды к площади её параллельного основанию сечения
равно отношению квадратов высот соответствующих пирамид.
Доказательство. Проведём к призме высоту
SO и пусть O1 -основание высоты пирамиды, отсекаемой от исходной пирамиды данным сечением. Обозначим через Sосн площадь исходной пирамиды и через Sс-площадь сечения .Треугольники SB1O1 и SBO подобны (почему?) и поэтому SB1/SB= SO1/SO . При доказательстве предыдущей теоремы мы убедились в том , что SB1/SB = A1B1/AB и поэтому SO1/SO= A1B1/AB ..Как мы знаем , площади подобных многоугольников относиться как квадраты их соответственных сторон . Следовательно ,Sсеч/Sосн = A1B1²/AB²,или Sсеч/Sосн = SO1²/SO²
Слайд 11 задача
Все боковые ребра пирамиды равны между собой .Какие фигуры
могут лежать в основании этой пирамиды ?
Прямоугольник
Ромб
Треугольник
Параллелограмм
Прямоугольная трапеция