Сфералық функциялар

шешімдері отбасының бұрыштық бөлігі болып табылады. Олар кеңістіктік салаларда физикалық

құбылыстарды зерттеу үшін, сфералық беттермен шектелген және сфералық симметрияға ие физикалық есептерді шешу үшін кеңінен қолданылады. Сфералық функциялар жеке туынды және Теориялық физикадағы дифференциалдық теңдеулер теориясында, атап айтқанда атомдағы электрондық орбитальдарды, геоид гравитациялық өрісін, планеталардың магнит өрісін және реликтілік сәулеленудің қарқындылығын есептеу есептерінде үлкен маңызға ие.

координат
Олар екі өлшемді саладағы функциялар кеңістігінде ортонормаланған жүйені құрайды:
Лаплас теңдеуінің

шешімі сфералық координаттарда сфералық функцияны радиалды теңдеуді шешуге көбейтумен алынатын шар функциясы деп аталады.

болып өрнектеледі, әрі Гельмгольц теңдеуінің жеке түрі

болып табылады. мұндағы х, y, z — тәуелсіз айнымалылар, ал u=u(x, y, z) — ізделінетін функция. Физика мен техниканың бірқатар есептері Лаплас тендеуіне келтіріледі. Лаплас тендеуін стационарлық процестегі температура, кеңістік нүктесіндегі электростатикалық өріс потенциалы, облыстағы тартылыс өрісінің потенциалы, т.б. қанағаттандырады. Лаплас тендеуін қанағаттандыратын функциялар гармониялық функциялар деп аталады. Лаплас тендеуін 1761 ж. Л.Эйлер және Ж. Д’Аламбер гидромеханика есептеріне байланысты қолданған. Бұл теңдеу 1782 және 1799 ж. П.Лаплас аспан механикасы мен гравитациялық потенциал теориясына қолданғаннан кейін кеңінен танылды. Соынмен қатар n-өлшемді кеңісіткте де баламасы бар. Бұл жағдайда n екінші туындыларын қосады.

(кез келген өлшемде) бірдей былай жазылады
Лаплас операторы (лапласиан, дельта операторы)

— Тегіс функциялардың сызықтық кеңістігінде әрекет ететін және символмен белгіленетін дифференциалды оператор

дифференциалдық теңдеуін қарастырайық