Системы счисления с древних времён до современного мира, их применение

Станислав Константинович
6 класс МОУ «Лицей»

и записи чисел.
Целью настоящей работы является исследование способов записи

чисел, применяемых в древности, их влияние на современную науку и культуру, а также изучение современных систем счисления.
Задачей настоящей работы является обзор способов записи чисел и иллюстрация математической культуры с древних времен на примере решения задач.

первых 9 целых чисел;
Еще 9 букв означали первые 9

кратных числа 10; остальные буквы использовались для обозначения сотен.
Для обозначения тысяч использовался принцип позиционности
6789 -

0
Система счисления майя основывается на их астрономических данных;
Первый разряд

- сутки, второй – месяцы, третий – годы.
6789

(3∙5+3)∙(360)+3∙5∙(20)+(5+4)
Двадцатеричная система также использовалась у ацтеков, кельтов, чукчей и других народов.

T ; 10 — ; 60
6789
Отрицательные числа – «фу»;
Положительные

числа – «чжэн»

Иероглифическая система
Десятичная, мультипликативная;
Для обозначения первых 9 чисел использовалось 9 знаков и 11 символов для обозначения степеней числа 10.
6789
(6×1000 + 7×100 + 8×10 + 9)

II в. до н.э. - «Трактат об измерительном шесте» и «Математика в девяти книгах»

Т

Дроби. Половина - «бань», треть – «шао бань», две трети – «тай бань». III в. н.э. – десятичные дроби.
Методы «тянь-юань» (небесный элемент); «фан чэн»

«шунья» (пустое) – по арабски «сыфр»
Положительные числа - «дхана»

или «сва», отрицательные – «рина» или «кщайя».
С сер. II тыс. до н.э. – дроби: ардха (1/2), пада (1/4), три-пада (3/4) и кала (1/16) с системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем.
Разработаны правила основных арифметических действий.
Индийские математики и астрономы Ариабхата (V-VI вв.), Брахмагупта (VII в.), Магавира (IX в.), Шридхара (IX-X вв.), Бхаскара (XII в.), Нилаканта (XV-XVI вв.)

Цифры карошти
Цифры брахми
Большинство трактатов написано на санскрите (алфавит «деванагари»)
6789

Система десятичная, позиционная, цифровая. Предшественник современной.

Бен Муса аль-Хорезми (878-ок.850) «Об индийском счёте», «Китар аль-джебр валь

мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении»)
Индийские цифры:
На востоке: 6789
На западе: Гобари («Песчаный абак») 6789
О влиянии науки арабских стран на науку Европы говорят термины: арабские цифры, алгебра, алгоритм, цифра, корень, синус.
Учёные, которые обогатили науку: Мухаммед аль-Хорезми, астрономы ал-Фергани, ал-Тюрки и Абдуль Хасан, ал-Сагани, ал-Ходженди и ал-Джаухари, ал-Беруни из Хорезма и идн-Сина из Бухары (IX-X вв.), известный математик и поэт Омар Хайям (XI в.) и ал-Каши – директора обсерватории правителя Улугбека (XV в.).

были введены арабские цифры

абака.
В 12 в. переведён трактат «Об индийских числах» Аль-Хорезми
С

XVI в. индо-арабская система стала использоваться применительно к дробям.

В эпоху Возрождения окончательно была введена позиционная десятичная арифметика.
Была создана арифметическая и алгебраическая символика. Введены были дробные и отрицательные показатели и числа; успешно найдено решение в радикалах уравнений 3 и 4 степеней. Были формально введены мнимые числа.
Математика становилась средством решения не только практических задач.
Долгий период изучения постоянных величин подходил к завершению. Были созданы условия для возникновения теории переменных величин, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.

Симон Стевин - трактат De Thiende (Десятина); 6789
С XVII в. цифры приняли практически современный вид

и умножения
Двоичная система используется в вычислительной технике;
в телеграфии;
в кодировании;
в

теоретических исследованиях.

+ 6(81) + 5(80) +

+4(8–1) + 3(8–2)

=

6789=(3 e 1 9)12 =3∙123+11∙122+1∙12+9
(765,43)12
7(122) + 6(121) + 5(120) +

+ 4(12–1) + 3(12–2) =

Используется в традиционной системе мер (в английской и американской);
связана с календарем и временем.

На американских фондовых биржах дроби обычно выражают в восьмых долях.

экономичной из позиционных систем счислений по запасу чисел, которые можно

записать в данной системе с помощью определенного количества знаков.
С помощью 60 знаков можно записать:
В двоичной системе 230 чисел; в троичной – 320; в четверичной – 415; и т.д. В десятичной системе – 106; в шестидесятеричной - 60 чисел.
320>230=415>512>610>106 > 125 > 154 > 203 > 302 > 60
Троичная система оказалась самой экономичной. Двоичная и равносильная четверичная системы уступают троичной, но превосходят все остальные системы.
Этот вывод не связан с количеством знаков. В общем случае результат будет тем же. Существует строгое математическое доказательство этого факта.

n г за одно взвешивание, достаточно иметь гири 1 г,

2 г, 4 г, ..., 2m г, где 2m≤n<2m+1, и меньшего числа гирь недостаточно, если песок лежит на одной чашке весов, а гири разрешается ставить на вторую чашку.
Если разрешить класть гири на обе чашки весов, то оптимальной будет система из гирек с массами, образованными степенями тройки (1, 3, 9, 27…). Для того чтобы взвесить груз в n г, надо представить число n в виде суммы a0+3a1+9a2+27a3, где ai=0, ±1 (i=0, 1, 2, 3). Тогда для его взвешивания достаточно на чашку вместе с грузом положить все гири, массы которых входят в эту сумму со знаком минус, а на противоположную чашку положить все гири, массы которых входят в эту сумму со знаком плюс.
Этой задачей интересовался Д. И. Менделеев в бытность свою председателем Российской палаты мер и весов. Частный случай этой задачи был опубликован в книге Баше де Мезириака в XVII веке, а ранее был известен Фибоначчи.
Задача. 12 монет. Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей.
Решение. Пронумеруем монеты: присвоим им номера 001, 010, 011, 012, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 220. Для 1 взвешивания положим на одну чашу весов те монеты, у которых старший разряд равен 0 (то есть 001, 010, 011, 012), а на другую - те монеты, у которых он равен 2 (200, 201, 202, 220). Если перетянет чашка с «0», запишем 0. Если перетянет «2» — запишем 2. Если чаши весов останутся в равновесии — запишем 1. Для 2 взвешивания на одну чашу выложим монеты 001, 200, 201, 202 (то есть все те монеты, у которых второй разряд равен 0), а на другую — 120, 121, 122, 220 (то есть те монеты, у которых средний разряд равен 2). Запишем результат взвешивания. 3 взвешиванием сравниваем 010, 020, 200, 220 с 012, 112, 122, 202 (соответственно, нули и двойки в младшем разряде) и записываем третью цифру. Мы получили 3 цифры —трехзначное число. Далее определяем фальшивую монету так: Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.

Двоичную и троичную систему счисления можно использовать для решения ряда математических задач.

и до наших дней. Многие из них используются в современной

математике.
Эволюция способов записи чисел проходила много этапов. Менялись основания систем счислений, принципы записи, форма цифр или иероглифов.
Математика в Древнем Китае оказала большое влияние на математическую науку в Древней Индии, странах Азии и Востока. Однако многие открытия китайских учёных стали известны в Европе уже после того, как европейцы пришли к ним самостоятельно.
Современные арабские цифры – набор из 10 знаков - используются ныне практически во всем мире для записи чисел в десятичной системе счисления. Эта система счисления является позиционной. Арабские цифры происходят от индийских символов для записи чисел. Многие достижения индийских учёных значительно повлияли на развитие науки в арабских странах.
Математики арабских стран впитывали знания ученых со всего мира и распространяли их дальше. Изучение учеными Европы науки стран ислама позволило начать строить европейскую науку на прочном фундаменте и не повторять заново весь пройденный их предшественниками путь.

4 тысяч лет назад. Использование десятичной системы также уходит глубоко

в древность.
Учёные древности достигли огромных успехов в математике, научились решать сложные задачи. Влияние достижений и открытий Древнего мира на современную науку очень велико.