Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

оси Х и вдоль оси Y, т.е. участвует в двух

взаимно-перпендикулярных колебаниях. Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты примем
ω1 = ω2 = ω,
тогда x = а1cos(ωt +α1) и y = а2cos(ωt+ α2).
Δα = α2 - α1 разность фаз между обоими колебаниями. Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t.
Упростим выражения, выберем начало отсчета так, чтобы α1 = 0 т.е. х = а1cosωt и y = а2cos(ωt + Δα2), (25.3.2)
где Δα = α2.
Из первого уравнения следует, что x/а1= cosωt, (25.3.3)
следовательно sinωt =±√1-x2/а12 (25.3.3,a)

(25.3.1)

cosωt и sinωt их значения (25.3.3) и (25.3.3,a):
y/а2 = cosωt⋅cosΔα

- sinωt⋅ sinΔα
= (x/а1) cosΔα - (± sinΔα(√1 – x2/а12))
Перепишем
(y/а2 – (x/а1)cosΔα)2 = (-sinΔα√1-x2/а12 )2
Возведем обе части в квадрат
y2/а22 +(x2/а12 )⋅cos2Δα - (2xy/а1а2)⋅cosΔα =
sin2Δα - (x2/ а12)⋅sin2Δα
y2/a22 + (x2/a12)(cos2Δα + sin2Δα) – (2xy/a1a2)⋅cosΔα = sin2Δα
y2/a22 + x2/a12 – (2xy/a1a2)⋅cosΔα = sin2Δα
В общем, виде
y2/a22 +x2/a12- (2xy/a1a2)⋅ cos(α2 - α1 ) = sin2(α2 - α1)   (3.4)

относительно координатных осей х и y.
Ориентация эллипса и величина

его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд а1 и а2 и разности фаз α.
Определим форму траектории для некоторых частных случаев.
1) Начальные фазы колебаний одинаковы α1 = α2 т.е. α2 - α1 = 0
 Тогда уравнение имеет вид y2/a22 +x2/a12- 2xy/a1a2 = 0  
или (x/а1 - y/а2)2 =0 или x/а1 = y/а2
или x/y =а1 /а2 или y= (а1 /а2) ⋅x (3.5)
(Это уравнение прямой, проходящей через начало координат)
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами колебания будут происходить вдоль прямой, проходящей через начало координат.
Такие колебания называются линейно поляризованными.

равны соответствующим амплитудам колебаний. Случай эллиптически поляризованных колебаний. При равенстве

амплитуд а1 и а2 эллипс вырождается в окружность.
Случаи α = + π/2 и α = -π/2 отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если α = +π/2 , уравнение (3.7) можно записать следующим образом:
х = а1cosωt и y = -а2sinωt . (3.8)
В момент времени t = 0 тело находится в точке 1 (рис. 25.8). В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке. Если α = -π/2 , уравнение (3.7)

Рис. 25.8

можно записать следующим образом:
х = а1cosωt и y = +а2sinωt . (3.8)
Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.

Если

частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид
довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. На рис. 25.9 показана одна из простейших траекторий. Получающаяся при отношении частот 1:2 и разности фаз π/2. Уравнения колебаний имеют вид
х = аcosωt и y = bcos(2ωt+ π/2) (3.11)
За то время, пока вдоль оси х точка успевает пройти из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение.
При отношении частот 1:2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис. 25.10), по которой точка движется туда и обратно. Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 25.11 для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фаз π/2.