Случайная величина и законы распределения

Распределение случайной величины.
Математическое ожидание. Дисперсия, стандартное отклонение.
Некоторые распределения дискретной случайной

случая. Примеры случайных величин: число попаданий в мишень при данном

Дискретная
Случайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать. При этом число значений может быть конечным или
бесконечным

Непрерывная
Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно

значений. Счетное количество может быть бесконечным, но, тем не менее,

0

2

1

3

4

5

6

количество значений из определенного непрерывного множества на числовой прямой. Множество

0

6

значения от 0 до 6


Значения 0 и 6 менее вероятны,
чем

Случайные величины являются математическим инструментом для изучения случайных событий и явлений

возможных значений этой величины, а также вероятности, с которыми эти

Таблица задает закон распределения случайной
величины

также
указывает на
соответствие между
принимаемыми
значениями случайной
величины и их
вероятностями.

аналитически – формулой

Пример. Формула для нахождения вероятности k мальчиков среди

вероятностей должна быть равна единице:





Проверка. Задана случайная величина:




Проверим необходимое

ее возможных значений на их вероятности

равно самой постоянной
M(CX) = C*M(X)
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить

M(X1 + X2 + ... + Xn) = M(X1) + M(X2) + ... + M(Xn)

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно
сумме математических ожиданий слагаемых

M(X1X2...Xn) = M(X1)*M(X2)*...*M(Xn)

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

математическое ожидание равно -10, это означает, что в
среднем каждый участник

Если бы математическое ожидание было равно нулю, то выигрыши одних участников брались бы из проигрышей других участников.

величины от ее математического ожидания:
D(X) = M([X – M(X)]2).
Дисперсию удобно

C2*D(X)
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
предварительно возведя

D(X1 + X2 + ... + Xn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn)

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
дисперсий слагаемых

параметрами
n,p >0, если Х принимает значения: 0,1,2,…n
и вероятность

Биномиальное распределение

образом:
Рассмотрим событие А, которое происходит в опыте с вероятностью р

n=4, р=1/3.
Пример применения биномиального распределения

опытов, в которых может произойти событие А, может принимать значения

Соответствующие вероятности находятся по формуле Бернулли при n=4, p=1/3, q=1-1/3=2/3.

Вероятность того, что событие А не произойдет ни в одном опыте (m=0):

Решение примера

(m=1):
Аналогично находим вероятности того, что это событие произойдет в двух

ряд распределения случайной величины Х будет выглядеть так:

число опытов в серии из n, в которых произошло событие

Введем для каждого i=1,2…n случайную величину Zi .

Пусть Zi принимает всего два значения: 1 - если событие А произойдет в i-ом опыте и 0 - если событие А не произойдет в i-ом опыте.

Тогда событие Х выразится через сумму событий Zi :
Х= Z1 +Z2 +…+Zn

Zi имеет вид:
Тогда M[Zi ]=p и M[X]=np.

то
Таким образом, для случайной величины,
распределенной по биномиальному закону,

прогрессии
с параметром р>0, если она может
принимать значения 1,2,3…,k,…

Геометрическое распределение

Проводится серия опытов в одинаковых условиях и независимо друг от

Данное распределение можно трактовать следующим образом.

будут определяться выражениями:

отвергаются, пока покупатель
не найдет подходящий. Найти ряд распределения
случайной

Пример применения геометрического распределения

раза:
р=1/5, q=1-1/5=4/5
Тогда вероятность, что клиент купит машину с первого

Решение примера

общем, вероятность того, что машина будет куплена с k -го

a>0,
если она может принимать значения
0, 1, 2,…,k,… и

Распределение Пуассона

Пуассона.
Распишем математическое ожидание по определению:
Первый член этой суммы равен нулю,

собой разложение в ряд функции ea:
Тогда:
Таким образом, параметр a имеет

найдем по определению математического ожидания, аналогично предыдущему случаю:

на две суммы:

ожидания. Она равна a.
Теперь находим саму дисперсию:
Таким образом, и

Сумма во втором слагаемом снова представляет
разложение экспоненты в ряд.

сбоев за сутки равно 1.5.
Считая, что число сбоев на

Пример применения геометрического распределения

он равен математическому ожиданию этой величины, то он имеет смысл

1.

Решение примера

не произойдет ни одного сбоя, то k=0. Тогда искомая вероятность

2.

Чтобы найти вероятность того, что за сутки произойдет хотя бы один сбой, нужно перейти к вероятности противоположного события: за сутки не произойдет ни одного сбоя.

и k=0:
Тогда искомая вероятность будет:

сбоев.
Противоположное событие: за неделю произойдет не более двух сбоев.

3.

для биномиального.


Если случайная величина Х распределена по
биномиальному закону,

при одном выстреле равна 0.04.
Используя предельное свойство
биномиального распределения,

Пример применения распределения Пуассона

выстреле.
Вероятность р(А)=0.04. Всего производится серия таких выстрелов: n=50.
Так

Решение примера

попадание по формуле Пуассона будет:

быть определена как для дискретных, так и для непрерывных случайных

Введем новую характеристику случайных величин - функцию распределения и рассмотрим ее свойства.

Рассмотрим вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее, чем х, т.е. Р(Х<х),

Функция распределения случайной величины

распределения

Х как случайную точку на оси х, которая в результате

х к минус бесконечности), то тогда попадание точки Х еще

Будем увеличивать х, т.е. перемещать точку х вправо.
При этом, вероятность того, что случайная точка Х попадет левее точки х не может уменьшится.
Поэтому функция распределения с возрастанием аргумента убывать не может.

Х вправо от х становится достоверным событием, вероятность которого равна

График функции распределения F(x) представляет собой график неубывающей функции, значения которой находятся в пределах от 0 до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.

всем значениям хi которые меньше х.
Если задана дискретная случайная величина,

от α до β:
Пусть событие А заключается в том, что

F(x):

появится событие А с
вероятностью 0.3. Случайная величина
Х –

Пример

3, 4.
Чтобы построить ее ряд распределения, найдем вероятности каждого

Решение примера

распределения этой случайной величины.

меняться скачкообразно, причем величина скачка (разрыва) будет равна вероятности данного

Найдем функцию распределения на каждом из промежутков Х :

1

2

3