Случайные величины. Закон распределения случайной величины. Плотность распределения вероятностей

те или иные значения, причем неизвестно заранее, какие именно.
Обозначают: X,Y,Z

Примером случайной величины может служить:
Х – число очков, появляющееся при бросании игральной кости
2) У – число выстрелов до первого попадания в цель
3) Рост человека, курс доллара, выигрыш игрока и т.д.
Случайная величина, принимающая счетное множество значений называется дискретной.
Если множество значений с.в. Несчетно, то такая величина называется непрерывной.

событийΩ, которая каждому элементарному событию W ставит в соответствие число

Х(w), т.е. Х=Х(w),
Пример: Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На пространстве элементарных событий Ω{W1,W2,W3,W4} где W1=ГГ, W2=ГР, W3=РГ, W4=РР. Можно рассмотреть с.в. Х – число появления герба. Х является функцией от элементарного события W2: X(W1)=2, X(W2)=1, X(W3)=1, X(W4)=0 X – дискретная с.в. Со значениями X1=0, X2=1, X3=2.
Для полного описания случайной величины недостаточно лишь знания ее возможных значений. Необходимо еще знать вероятности этих значений

принимает значения х1, х2…хn..
С некоторой вероятностью Pi=P{X=xi}, i=1,2,3…n…, определяющей вероятность

того, что в результате опыта с.в. Х примет значение xi
Закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:


Такую таблицу называют рядом распределения
Так как события {X=x1},{X=x2}… несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна

вероятности этих значений.
Ломаную, соединяющую точки (Х1, Р1), (Х2,Р2),… называют многоугольником

распределения.

р1

р2

р3

pn

x1

x2

x3

xn

x

pi

0

Случайная величина Х дискретна, если конечное или счетное множество Х1, Х2,…,Xn,… таких, что P{X=xi} = pi > 0 (i=1,2,…) и p1+p2+p3+… =1

– черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон

распределения числа белых шаров в выборке.
Решение: Возможные значения с.в. Х – число белых шаров в выборке есть x1=0, x2=1, x3=2, x4=3.
Вероятности их соответственно будут
P1

P2=p{x=1}= Контроль:

P3=p{x=2}=

P4=p{x=2}=

способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так

и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения.
Функцией распределения с.в. Х называется функция F(x), которая для любого числа равна вероятности события {XФункцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси

точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (∞,х)

Х

х

X

x

Функция распределения обладает свойствами:
1)F(x) ограничена, т.е.
2)F(x) – неубывающая функция на R т.е. если, то

3)F(x) обращается в ноль на минус бесконечности и равна 1 в плюс бесконечности т.е. F(-∞)=0, F(+∞)=1
4) Вероятность с.в. Х в промежуток [a,b] равна приращению ее функции распределения на этом промежутке т.е.
(2)

распределения можно вычислить вероятность события

(3)
Функция распределения дискретной с.в. имеет вид:
(4)
Равенство (4) непосредственно вытекает из определения (1)
6) Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a,b), то для ее функции распределения F(x)=0 при , F(x)=1 при

плотность распределения вероятностей.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция

распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме отдельных точек.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной с.в. Х называется производная ее функции распределения. Обозначается f(x)
По определению: f(x)= (x) (5)
Функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения
Она является одной из форм закона распределения случайной величины.

= Lim
Но согласно формуле (2) oтношение

представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка [x,x+∆x], т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда
f(x)= Lim (6)
Т.е.плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания случайной величины в промежуток [x, x+∆x] к длине ∆х этого промежутка, когда ∆х→0 Из (6) равенства следует
Т.е. плотность вероятности определяется как функция f(x), удовлетворяющая условию
Выражение f(x)dx называется элементом вероятности.
Свойства плотности распределения:
1) f(x) неотрицательна, т.е.

определенному интегралу оси ее плотности в пределах от a до

b, т.е.

3)Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности

4) Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной случайной величины в бесконечных пределах равен 1

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(x) такая, что при любом х функцию распределения F(x) можно представить в виде


Затем получить, что , следовательно F(x) и f(x) являются эквивалентными обобщающими характеристиками с.в. Х
Для непрерывной с.в. Х вероятность события {X=C},где С – число, равна нулю
Действительно,