Случайная величина

Содержание

1. Случайная величина
2. Закон распределения случайной величины Это связь между
3. Слайд 3
4. Функция распределения F(x0)это вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие или равные x0.
5. Свойства функции распределения1). F(x) неубывающая: F(x2)≥F(x1) если
6. F(4)=P(X≤4)=P(2)+P(4)=0,1+0,2=0,3 F(8)=P(X≤8)=P(2)+P(4)+P(6)+P(8)==0,1+0,2+0,4+0,2=0,9P(4
7. Непрерывная случайная величинаТаблица: Интервальный ряд распределения.
8. Слайд 8
9. Функция плотности вероятности
10. Слайд 10
11. Числовые характеристики случайной величины. Пусть проведено n
12. Числовые характеристики случайной величины. 2) Дисперсия (рассеивание).
13. Числовые характеристики случайной величиныЕсли X и Y
14. Законы распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределениеПусть
15. Биномиальное распределениеВероятность такой случайной величины вычисляют по
16. Слайд 16
17. Задача господина де Мере
18. Распределение Пуассона Редкие событияЕсли количество испытаний достаточно
19. Если в биномиальном распределении зафиксировать k ,
20. Основные законы распределения непрерывной случайной величины1.Равномерное или
21. Равномерное распределениеВероятность того что X попадёт в интервал
22. Больные попадают на флюорографическое обследование строго по
23. Нормальный закон распределения или распределение Гаусса a и σ параметры распределения
24. Нормальное распределение С изменением параметра а кривая смещается по оси х: Условие нормировки
25. С изменением параметра σ меняется форма кривой,
26. Параметры нормального распределенияматематическое ожиданиедисперсия.– среднее квадратическое отклонение.
27. Нормальная функция распределенияВведём замену переменной:
28. Свойства функции Ф(t)
29. Вероятность попадания значений случайной величины в интервал [a.b]
30. Таблицы нормального распределенияТаблицы нормального распределения
31. Пример 1Случайная величина распределена по нормальному закону.
32. Пример 2Случайная величина распределена по нормально-му закону.
33. Правило 3-х сигм
34. Слайд 34
35. Слайд 35
36. Математическая статистика. Статистическая совокупность – это множество
37. Основные задачи, которые стоят перед математической статистикойОпределение
38. Сбор экспериментальных данных. 1) Получаем статистический ряд
39. 3) Составляем вариационный ряд (статистическое распределение)Дискретный вариационный
40. Для непрерывной случайной величины составляется интервальный вариационный
41. Интервальный вариационный ряд:Гистограмма:
42. Статистические характеристики совокупностиГенеральная совокупность (n→∞)
43. Ошибка среднего арифметическогоИзвлечём из генеральной совокупности N
44. Интервальные оценки параметров Доверительный интервал
45. Доверительным интервалом какого либо пара-метра, называют такой
46. Распределение Стьюдента (малые выборки)Доверительные интервалы для нормального распределения и распределения Стьюдента
47. Пример: При определении концентрации белка в растворе
48. Алгоритм обработки результатов прямых измерений1) Провести серию
49. Алгоритм обработки результатов прямых измерений4) Найти систематическую
50. Алгоритм обработки результатов прямых измерений6) Записать окончательный
51. Контрольные вопросы.Биномиальное .распределение.Распределение Гаусса:а). Параметры распределения.б). Нормированная
52. Скачать презентанцию

Закон распределения случайной величины Это связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает, в виде 1) таблицы 2) графика 3) функции распределения Дискретная случайная

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Случайная величина
Случайная величина – это переменная, которая принимает свои значения

в зависимости от случайных обстоятельств.
.Дискретная случайная величина (точечная) принимает отдельные

числовые значения (кубик: 1,2,3,4,5,6)
Непрерывная случайная величина принимает любые значения из
некоторого интервала
(рост студентов).

Случайная величинаСлучайная величина – это переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайных обстоятельств..Дискретная случайная величина

Слайд 2Закон распределения случайной величины
Это связь между возможными значениями случайной

величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает,

в виде 1) таблицы 2) графика 3) функции распределения
Дискретная случайная величина.
Таблица Условие нормировки

Закон распределения случайной величины Это связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти

Слайд 3

Слайд 4Функция распределения F(x0)
это вероятность того, что случайная величина X принимает

значения, меньшие или равные x0.

Слайд 5Свойства функции распределения
1). F(x) неубывающая: F(x2)≥F(x1) если x2≥x1
2).F(-∞)=0;

F(+∞)=1
Вероятность попадания значения
случайной величины в заданный интервал

Свойства функции распределения1). F(x) неубывающая: F(x2)≥F(x1) если x2≥x12).F(-∞)=0; F(+∞)=1 Вероятность попадания значения случайной величины в

Слайд 6F(4)=P(X≤4)=P(2)+P(4)=0,1+0,2=0,3 F(8)=P(X≤8)=P(2)+P(4)+P(6)+
P(8)==0,1+0,2+0,4+0,2=0,9
P(4

Слайд 7Непрерывная случайная величина
Таблица: Интервальный ряд распределения.

Слайд 8

Слайд 9Функция плотности вероятности

Слайд 10

Слайд 11Числовые характеристики случайной величины.
Пусть проведено n испытаний, случайная величина

приняла значение
x1 -- m1 раз, x2 --

m2 раз И так далее

Непрерывная величина

Дискретная величина

1) Математическое ожидание. Это среднее значение случайной величины

Числовые характеристики случайной величины. Пусть проведено n испытаний, случайная величина приняла значениеx1 -- m1 раз,

Слайд 12Числовые характеристики случайной величины.
2) Дисперсия (рассеивание). Это математическое ожидание

(среднее значение) квадрата отклонения случайной величины X от её математического

ожидания

Дискретная величина

Для удобства вычислений

Непрерывная величина

Числовые характеристики случайной величины. 2) Дисперсия (рассеивание). Это математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины X

Слайд 13Числовые характеристики случайной величины
Если X и Y независимые случайные величины,то
Так

как размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой случайной величины

(например, метры и квадратные метры), используют
3) Среднеквадратическое или стандартное отклонение

Числовые характеристики случайной величиныЕсли X и Y независимые случайные величины,тоТак как размерность дисперсии не совпадает с размерностью

Слайд 14Законы распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение
Пусть производится N независимых

опытов(бросаем кубик 4 раза)
В каждом опыте с одной и той

же вероятностью р может наступить событие А (выпадание грани 6 ; р=1/6)
Случайная величина - это число k наступ-лений события A в N опытах (грань 6 выпадает в 4 опытах 2 раза)

Законы распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределениеПусть производится N независимых опытов(бросаем кубик 4 раза)В каждом опыте с

Слайд 15Биномиальное распределение
Вероятность такой случайной величины вычисляют по формуле
где

q=1-p ;

к!=1•2• • •к факториал
Таблица биномиального распределения

Биномиальное распределениеВероятность такой случайной величины вычисляют по формуле где q=1-p ;к!=1•2• • •к факториалТаблица биномиального распределения

Слайд 16

Слайд 17Задача господина де Мере

Слайд 18Распределение Пуассона Редкие события
Если количество испытаний достаточно велико (N), а вероятность

появления события в отдельно взятом испытании p весьма мала

(0,05-0,1 и меньше), то вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно k раз, можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:,

где параметр распределения- среднее число событий

Распределение Пуассона Редкие событияЕсли количество испытаний достаточно велико (N), а вероятность появления события в отдельно взятом испытании

Слайд 19Если в биномиальном распределении зафиксировать k , а N увеличивать

таким образом, чтобы произведение оставалось постоянным и равным

, то получим распределение Пуассона
Пример

На 1000 человек в среднем приходится 1 алкоголик. Найти вероятность того, что в городке с населением 8000 человек окажется 7 алкоголиков.
Биномиальное распределение

Распределение Пуассона

Если в биномиальном распределении зафиксировать k , а N увеличивать таким образом, чтобы произведение оставалось

Слайд 20Основные законы распределения непрерывной случайной величины
1.Равномерное или прямоугольное распределение.
Случайная величина

называется равномерно распределённой на интервале [c,d], если функция плотности распределения

её на этом интервале постоянна, а вне него равна нулю.

Основные законы распределения непрерывной случайной величины1.Равномерное или прямоугольное распределение.Случайная величина называется равномерно распределённой на интервале [c,d], если

Слайд 21Равномерное распределение
Вероятность того что X попадёт в интервал

Слайд 22Больные попадают на флюорографическое обследование строго по расписанию работы кабинета

и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности случайной величины t –

времени ожидании приглашения в кабинет больным, который наудачу подошёл к кабинету. Найти вероятность того, что он будет ждать приглашения не более 3 –х минут.

случайная величина имеет равномерное распределение с плотностью:

Вычислим вероятность того, что пассажир будет ожидать приглашения
не более 3 минут:

Больные попадают на флюорографическое обследование строго по расписанию работы кабинета и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности

Слайд 23 Нормальный закон распределения или распределение Гаусса
a

и σ
параметры распределе
ния

Слайд 24Нормальное распределение

С изменением параметра а кривая смещается по

оси х:
Условие
нормировки

Слайд 25С изменением параметра σ меняется форма кривой, но не

площадь под ней

Слайд 26Параметры нормального распределения
математическое ожидание
дисперсия.
– среднее квадратическое отклонение.

Слайд 27Нормальная функция распределения

Введём замену переменной:

Слайд 28Свойства функции Ф(t)

Слайд 29Вероятность попадания значений случайной величины в интервал [a.b]

Слайд 30Таблицы нормального распределения
Таблицы
нормального
распределения

Слайд 31Пример 1
Случайная величина распределена по нормальному закону. Параметры распределения:a=4, σ=3.

Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал от

(- ∞ ) до 5

Пример 1Случайная величина распределена по нормальному закону. Параметры распределения:a=4, σ=3. Найти вероятность того, что случайная величина попадёт

Слайд 32Пример 2
Случайная величина распределена по нормально-му закону. Параметры распределения:a=4,

Чему равно х, если

По таблице находим: для

Пример 2Случайная величина распределена по нормально-му закону. Параметры распределения:a=4, Чему равно х, если По таблице

Слайд 33Правило 3-х сигм

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36Математическая статистика.
Статистическая совокупность – это множество объектов, обладающих общими признаками,

которые являются наиболее важными (типичными) для характеристики этих объектов.

Объём совокупности n –это число членов совокупности

Генеральная совокупность – это совокупность всех
объектов, которые имеют типичную характеристику или
признак. Это все возможные значения случайной величины.
Объём генеральной совокупности).

Выборочная совокупность (выборка) – это отобранная
тем или иным способом часть генеральной совокупности

Варианта – это числовое значение изучаемого признака
( отдельные значения случайной величины

)

Математическая статистика. Статистическая совокупность – это множество объектов, обладающих общими признаками, которые являются наиболее важными (типичными) для

Слайд 37Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой
Определение закона распределения случайной

величины по имеющимся статистическим данным ( по выборке – закон

распределения для всей генеральной совокупности).
Определение неизвестных параметров распределения ( по выборке оценить параметры генеральной совокупности).
Задача проверки правдоподобия выдвигаемых статистических гипотез

Основные задачи, которые стоят перед математической статистикойОпределение закона распределения случайной величины по имеющимся статистическим данным ( по

Слайд 38Сбор экспериментальных данных.
1) Получаем статистический ряд –совокупность числовых данных или

выборку объёмом n:

2) Производим ранжирование -- это расположение всех имеющихся

вариант по возрастанию

Пример: при измерении частоты пульса у 10 пациентов получены следующие результаты:
90, 110, 65, 80, 90, 60, 70, 80, 70, 80
Ранжированный ряд имеет вид: 60, 65, 70, 70, 80, 80, 80, 90, 90, 110.

Сбор экспериментальных данных. 1) Получаем статистический ряд –совокупность числовых данных или выборку объёмом n:2) Производим ранжирование --

Слайд 393) Составляем вариационный ряд (статистическое распределение)
Дискретный вариационный ряд это таблица,

состоящая из двух строк : конкретных значений вариант Xi

и частот

(сколько раз случайная величина принимала данное значение).

полигон частот

3) Составляем вариационный ряд (статистическое распределение)Дискретный вариационный ряд это таблица, состоящая из двух строк : конкретных значений

Слайд 40Для непрерывной случайной величины
составляется интервальный вариационный ряд:
Первая строка

- интервалы изменения признака,
Вторая строка- частоты, относящиеся к данным

интервалам

берётся целая часть числа.

–(формула Брукса, 1963

г.)

. Число интервалов можно приблизительно определить по формулам:

Длина интервала ΔX рассчитывается по формуле:

Пример. Анализ веса 60-ти новорожденных дал следующие результаты:min вес 1,5 кг, max вес 5 кг.

к=7

Для непрерывной случайной величины составляется интервальный вариационный ряд: Первая строка - интервалы изменения признака, Вторая строка- частоты,

Слайд 41Интервальный вариационный ряд:
Гистограмма:

Слайд 42Статистические характеристики совокупности
Генеральная совокупность (n→∞)

Дисперсия

Выборка (n- конечно)

Математическое ожидание
Среднее арифметическое
Среднее

квадратическое отклонение

Оценка дисперсии

Оценка среднеквадратического
отклонения

Статистические характеристики совокупностиГенеральная совокупность (n→∞) Дисперсия Выборка (n- конечно)Математическое ожидание

Слайд 43Ошибка среднего арифметического
Извлечём из генеральной совокупности N выборок одинакового объёма

n, тогда их средние арифметические сами будут являться значениями случайной

величины и имеют отклонения от истинного значения М[X].

Ошибка среднего арифметического показывает насколько близко получаемое по выборке среднее арифметическое значение, приближается к истинному среднему М[X] генеральной совокупности

Ошибка среднего арифметическогоИзвлечём из генеральной совокупности N выборок одинакового объёма n, тогда их средние арифметические сами будут

Слайд 44Интервальные оценки параметров Доверительный интервал

Слайд 45Доверительным интервалом какого либо пара-метра, называют такой интервал, о котором

можно
сказать, что с вероятностью РД он содержит в себе

этот параметр.

уровень значимости α=1-РД.

Доверительные интервалы для нормального распределения

Доверительным интервалом какого либо пара-метра, называют такой интервал, о котором можно сказать, что с вероятностью РД он

Слайд 46Распределение Стьюдента (малые выборки)
Доверительные интервалы для нормального распределения и распределения

Стьюдента

Слайд 47Пример: При определении концентрации белка в растворе были получены следующие

результаты (в мг/л):110, 112, 115,
113,114. Найти 1) среднее значение,2)

стандартное отклонение и 3)доверительный интервал для Рд=0.95.

Пример: При определении концентрации белка в растворе были получены следующие результаты (в мг/л):110, 112, 115, 113,114. Найти

Слайд 48Алгоритм обработки результатов прямых измерений
1) Провести серию измерений,

не менее трех
2) Найти среднее арифметическое .

3) Вычислить доверительный интервал

для заданной доверительной вероятности, например,

Слайд 49Алгоритм обработки результатов прямых измерений
4) Найти систематическую ошибку.
а). если указан

класс точности прибора:

б). если класс точности не указан (

например, линейка или термометр)

5) Вычислить общую ошибку:

. Эту ошибку называют еще абсолютной ошибкой.

Алгоритм обработки результатов прямых измерений4) Найти систематическую ошибку.а). если указан класс точности прибора: б). если класс точности

Слайд 50Алгоритм обработки результатов прямых измерений
6) Записать окончательный результат: .

7) Кроме

абсолютной ошибки желательно также найти коэффициент вариации (или относительную ошибку,

выраженную в процентах):

Алгоритм обработки результатов прямых измерений6) Записать окончательный результат: .7) Кроме абсолютной ошибки желательно также найти коэффициент вариации

Слайд 51Контрольные вопросы.
Биномиальное .распределение.
Распределение Гаусса:
а). Параметры распределения.
б). Нормированная случайная величина.
в). Правило

трёх сигм.
Основные понятия математической статистики.
Схема предварительной обработки экспериментальных данных.
Статистические характеристики

совокупности.
Ошибка среднего арифметического.
Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Распределение Стьюдента.
Обработка прямых измерений

Контрольные вопросы.Биномиальное .распределение.Распределение Гаусса:а). Параметры распределения.б). Нормированная случайная величина.в). Правило трёх сигм.Основные понятия математической статистики.Схема предварительной обработки

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Случайная величина

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Случайная величинаСлучайная величина – это переменная, которая принимает свои значения

в зависимости от случайных обстоятельств..Дискретная случайная величина (точечная) принимает отдельные

Слайд 2Закон распределения случайной величины Это связь между возможными значениями случайной

величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает,

Слайд 3

Слайд 4Функция распределения F(x0)это вероятность того, что случайная величина X принимает

значения, меньшие или равные x0.

Слайд 5Свойства функции распределения1). F(x) неубывающая: F(x2)≥F(x1) если x2≥x12).F(-∞)=0;

F(+∞)=1 Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал

Слайд 6F(4)=P(X≤4)=P(2)+P(4)=0,1+0,2=0,3 F(8)=P(X≤8)=P(2)+P(4)+P(6)+P(8)==0,1+0,2+0,4+0,2=0,9P(4

Слайд 7Непрерывная случайная величинаТаблица: Интервальный ряд распределения.

Слайд 8

Слайд 9Функция плотности вероятности

Слайд 10

Слайд 11Числовые характеристики случайной величины. Пусть проведено n испытаний, случайная величина

приняла значениеx1 -- m1 раз, x2 --

Слайд 12Числовые характеристики случайной величины. 2) Дисперсия (рассеивание). Это математическое ожидание

(среднее значение) квадрата отклонения случайной величины X от её математического

Слайд 13Числовые характеристики случайной величиныЕсли X и Y независимые случайные величины,тоТак

как размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой случайной величины

Слайд 14Законы распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределениеПусть производится N независимых

опытов(бросаем кубик 4 раза)В каждом опыте с одной и той

Слайд 15Биномиальное распределениеВероятность такой случайной величины вычисляют по формуле где

q=1-p ;к!=1•2• • •к факториалТаблица биномиального распределения