Снижение размерности пространства. Метод главных компонент (principal

метода главных компонент для снижения размерности пространства признаков

модель
снизить объемы хранимой информации
Без потери информативности!

из рассмотрения

Наличии неинформативных переменных (переменных, практически не меняющихся при переходе

от объекта к объекту) – исключаем из рассмотрения

Наличии однотипных переменных - агрегируем (или простое суммирование) однотипные переменные

перечня данных)
Без видоизменения пространства исходных переменных
(корреляционный анализ)
2 способ (переходим

к новому пространству, каждая переменная в новом пространстве – линейная комбинация исходных переменных)
С преобразованием пространства
(факторный анализ, метод главных компонент (МГК)) – см. 4 задание в практической работе «Очистка данных»

показатели:

1) Доход на капитал
2) Срок окупаемости
3) Будущая стоимость проекта
4)

NPV – чистая дисконтированная стоимость
5) IRR – внутренняя норма рентабельности
6) PI – индекс доходности
7) PBP – период возврата вложений
…

Жизненный цикл инвестиционного проекта (ИП)

прибыли от реализации проекта к первоначальным вложениям в проект (max)
y2

– Срок окупаемости проекта - период, требуемый для возврата первоначальных инвестиционных расходов посредством накопленных чистых потоков реальных денег, полученных с помощью проекта (min)
y3 – Будущая стоимость проекта - сумма чистых денежных потоков, связанных с реализацией проекта, за весь период его осуществления (max)
y4 – NPV - сумма текущих чистых денежных потоков за весь расчетный период, приведенная к начальному шагу расчета (max)
y5 – IRR - ставка дисконтирования, при которой NPV (чистая дисконтированная стоимость) за весь срок жизни инвестиционного проекта равна нулю (max)
y6 – PI - отношение суммы дисконтированных чистых денежных потоков проекта к дисконтированной величине инвестиций (max)
y7 – PBP - количество периодов, в течении которых дисконтированная денежная прибыль возмещает дисконтированную сумму капитальных вложений (min)

окупаемости и период возврата капитальных вложений);
У3 и У5 (будущая

стоимость проекта и чистая дисконтированная стоимость NPV);
У4 и У6 (внутренняя норма прибыли IRR и индекс прибыльности PI).

Это значит, что можно без ущерба для качества принятия инвестиционного решения исключить из целевой функции три признака. Пусть это будут У2, У3, У6. Таким образом целевая функция вполне может быть описана следующими частными критериями:
1 – доход на капитал – У1;
2 – внутренняя норма прибыли IRR - У4;
3 – чистая дисконтированная стоимость NPV – У5;
4 – период возврата капитальных вложений PBP – У7.

PCA – это 2 способ снижения размерности

следующие показатели:

1) Доход на капитал
2) Срок окупаемости
3) Будущая стоимость

проекта
4) NPV – чистая дисконтированная стоимость
5) IRR – внутренняя норма рентабельности
6) PI – индекс доходности
7) PBP – период возврата вложений
…

Жизненный цикл инвестиционного проекта (ИП)

прибыли от реализации проекта к первоначальным вложениям в проект (max)
y2

– Срок окупаемости проекта - период, требуемый для возврата первоначальных инвестиционных расходов посредством накопленных чистых потоков реальных денег, полученных с помощью проекта (min)
y3 – Будущая стоимость проекта - сумма чистых денежных потоков, связанных с реализацией проекта, за весь период его осуществления (max)
y4 – NPV - сумма текущих чистых денежных потоков за весь расчетный период, приведенная к начальному шагу расчета (max)
y5 – IRR - ставка дисконтирования, при которой NPV (чистая дисконтированная стоимость) за весь срок жизни инвестиционного проекта равна нулю (max)
y6 – PI - отношение суммы дисконтированных чистых денежных потоков проекта к дисконтированной величине инвестиций (max)
y7 – PBP - количество периодов, в течении которых дисконтированная денежная прибыль возмещает дисконтированную сумму капитальных вложений (min)

y2, y3, y4, y5, y6, y7)
переходим к новому пространству -

тоже 7-мерному (P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7) – это новая ортогональная 7-мерная система координат.
Каждый показатель в новом пространстве (компонента, фактор) – линейная комбинация всех показателей исходного пространства:

Р1=а11*y1+а12*y2+а13*y3+а14*y4+а15*y5+а16*y6+а17*y7

Р2=а21*y1+а22*y2+а23*y3+а24*y4+а25*y5+а26*y6+а27*y7

…
Р7=а71*y1+а72*y2+а73*y3+а74*y4+а75*y5+а76*y6+а77*y7

, обеспечивающих долю дисперсии 0,85 и сформировать интегральный показатель на

основе матрицы весовых коэффициентов, учитывающих тесноту связи между исходными показателями и главными компонентами.

дисперсию результирующих факторов P1-P7.
Понижение размерности получается путем отбрасывания компонент P,

в наименьшей степени объясняющих дисперсию всех исходных значений.

Слева записана полная дисперсия, а справа – доли полной дисперсии, относящиеся к соответствующим главным компонентам. Дисперсия является характеристикой изменчивости случайной величины, ее отклонений от среднего значения. Полный вклад каждого фактора в дисперсию всех исходных признаков определяет ту долю общей дисперсии, которую данная главная компонента объясняет.

компоненты избирают направление, вдоль которого массив данных имеет наибольший разброс.

Выбор каждой главной последующей компоненты происходит так, чтобы разброс данных вдоль нее был максимальным, и чтобы эта главная компонента была ортогональна другим главным компонентам, выбранным прежде.
В результате получаем несколько главных компонент, каждая следующая из которых несет все меньше информации из исходного набора.

соответствующая координатная ось была направлена вдоль того направления, вдоль которого

разброс точек самый большой – то есть вдоль длинной оси эллипсоида.

индекс возвратности вложенных средств P2
P2 =0,108*y1+0,987*y2-0,108*y3+0,224*y4+0,047*y5+0,005*y6+0,991*y7

индекс возвратности вложенных средств P2
P2 =0,108*y1+0,987*y2-0,108*y3+0,224*y4+0,047*y5+0,005*y6+0,991*y7

2-мерному ортогональному пространству главных компонент P1-P2 без существенной потери информативности.

600 коммерческих банков, каждый их которых характеризуется следующими признаками:
кредиты физическим

лицам;
кредиты предприятиям и организациям;
вклады физических лиц;
средства предприятий и организаций;
чистая прибыль;
выданные межбанковские кредиты.
В таблицы – весовые коэффициенты исходных признаков по результатам использования МГК: