Слайд 1Представление чисел в памяти компьютера
Слайд 2Как представляются в компьютере целые числа?
Целые числа могут представляться
в компьютере со знаком или без знака.
Целые числа без
знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112 , а в двубайтовом формате - от 00000000 000000002 до
11111111111111112.
Слайд 3Диапазоны значений целых чисел без
знака
Слайд 4Число 3910 = 100111 2 в однобайтовом
формате:
Число 3910 = 100111
2 в двубайтовом
формате:
Число 65 53510 = 11111111 111111112 в
двубайтовом формате:
Слайд 5 Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один,
два
или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд
содержит информацию о знаке числа. Знак "плюс" кодируется нулем, а "минус" - единицей.
Диапазоны значений целых чисел со знаком
Слайд 6Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере
однобайтового
формата, при котором для знака отводится один разряд, а
для цифр абсолютной величины - семь разрядов.
В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.
Слайд 7 Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах
изображаются
одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в
знаковом разряде.
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа - двоичный код его абсолютной величины
Слайд 8Обратный код. Получается
инвертированием всех цифр двоичного кода
абсолютной
величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы
–нулями.
Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.
Слайд 9Формы записи целых положительных чисел
имеют одинаковое представление
Слайд 10Формы записи целых отрицательных чисел
Слайд 11Операции над числами с фиксированной точкой.
Слайд 121. А и В положительные. При суммировании складываются все
разряды,
включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых
равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Получен правильный результат.
Слайд 132. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше,
чем А.
Например:
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в
прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –710.
Слайд 143. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше,
чем А. Например:
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо
7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы!!!
Слайд 154. А и В отрицательные. Например:
Полученный первоначально неправильный результат (обратный
код числа –1110 вместо обратного кода числа
–1010) компьютер исправляет переносом
единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –1010.
Слайд 165. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна
2n–1, где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового
формата n=8, 2n–1 = 27 = 128). Например:
Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых (знак суммы – отрицателен, знак слагаемых – положительный), что является свидетельством переполнения разрядной сетки.
Слайд 176. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и
В больше, либо равна 2n–1.
Например: 632 =01111112
Здесь знак суммы тоже
не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.
Слайд 181. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая
1, рассмотренного для обратного кода, т.к. дополнительный код используется только
для отрицательных чисел.
Слайд 192. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше,
чем А. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде.
При переводе в
прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –710.
Слайд 203. А положительное, B отрицательное
и по абсолютной величине меньше,
чем А.
Например:
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда
компьютер отбрасывает.
Слайд 214. А и В отрицательные.
Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде.
Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает. Случаи переполнения для
дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Слайд 22Задача.
Выполнить действия над машинными кодами чисел:
с фиксированной точкой. Формат 16
двоичных разрядов. Дано: А=190; В=250
Найти: С1=А + В; С2=А – В.
Решение:
А(10)
= 190;
В(10) = 250;
А(16)=BE=10111110(2) В(16)=FA=11111010(2)
С1 = А+В
С2 = А – В
А= 0 000000010111110
А = 0 0000000010111110 (прямой код)
+В= 0 000000011111010
С1= 0 000000110111000
Проверка: С1=110111000(2)
- В = 1 111111100000110
(дополнительный код) С2 = 1 111111111000100
Проверка:
С2 = - 111100 = - BC= - 3*16 +12*1 =
= - 60 (10)
С1(16) = 1В8 = 1*16*16+11*16+8*1 = 440(10)
Ответ:
С1 = 0 000000110111000
С2 = 1 000000000111100
Слайд 23Задача.
Выполнить действия над машинными кодами чисел:
с фиксированной точкой. Формат 16
двоичных разрядов. Дано: А= - 387; В= - 128
Найти: С1=А + В;
Решение:
X = A+B X = (-A) + ( - B)
А(10) = - 387;
В(10) = - 128;
А(16)=- 183(16)= - 110000011(2)
В(16)=- 80(16)= - 10000000(2)
A(2) = 1 000000110000011 –прямой код
А(2) = 1 111111001111100 –обратный код А(2) = 1 111111001111101 – дополн. код
Слайд 24В(2) = 1 000000010000000 – прямой код
В(2) = 1 111111101111111
– обратный код В(2) = 1 111111110000000 – дополн.код
(-А) =
1 111111001111101
+ (-В) = 1 111111110000000
Х = 1 111110111111101 –доп. код
Х = 1 000001000000010 – обр.код
Х = 1 000001000000011 – пр.код
Х = - 203(16) = - (2*16*16+0*16+3*1) =
= - (256*2+3) = - (512+3)+ - 515
Слайд 25Представление чисел с
плавающей точкой.
Этот способ представления опирается на
нормализованную (экспоненциальную) запись
действительных чисел.
Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа A -
это запись вида:
А= m* qn,
где m – мантисса числа (правильная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю),
q – основание системы, n – порядок числа.
Слайд 26Примеры:
Мантисса числа 64.5 – это число 0.645, а порядок –
число 2, так как 64.5 = 0.645*10 степень (2).
Мантисса числа
0.0000012 – это число 0.12, а порядок – число -5, потому что 0.0000012=
=0.12*10 степень(-5).
При представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды - для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы.
Слайд 27Операции над числами с плавающей точкой.
Слайд 28Дано:А = 12,75; В = 250 Найти: С3 = А +
В, С4 = А – В
Формат – 32 двоичных разряда со смещенным
порядком.
А(10) = 12,75 = А(16)
= С.С; В(10) = 250 = В(16) = FA
Нормализация мантисс
mA = 0.CC; mB = 0.FA;
pxA = 40 + 1 = 41
pxB = 40 + 2 = 42
Выравнивание характеристик:
∆p = pxA – pxB = -1
m*A = mA * 16 -1 = 0.0CC; pxA = 41+ 1 = 42
C3 = A + B;
mA = 00 0CC000 mB = 00 FA0000
mC3 = 01 06C000
pxA = 42
pxB = 42
pxC = 42
Слайд 29Нормализация мантиссы результата mxC3 = 00 106C00;
pxC3 = 42 +
1 = 43
Проверка
С3(16) = 106,C = (C3) = 262,75
C3 =
0 1000011000100000110110000000000 C4 = A – B
mA = 00 0CC000 mB = 10 06000
mC3 = 10 12C000
pxA = 42
pxB = 42
pxC = 42
Нормализация мантиссы результата: mС4 = 10 ED4000 pxC4 = 42
Проверка:
С4 = - ED.4 = (C4) = - (14 * 16 + 13 * 1 + 4/16) = - 237, 25
C4=11000010111011010100000000000000
