Спектральный анализ

Ортогональность системы функций. Полнота системы. Ортогональность проверяется непосредственно, а полнота

следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации любой непрерывной периодической функции тригонометрическими многочленами
Тригонометрическая система 1,cos nx,sin nx ,… n=1,2,3,4,… образует полную ортогональную систему в этом пространстве.

Бернулли , Даламбер, Лагранж; Эйлер. Фурье в 1811 г. выразил

уверенность в возможности такого представления, а в его книге 1822 г привел множество примеров примения разложения в тригонометрический ряд.
Ряд Фурье сходится в метрике L2 [-π, π].
Ортогональные системы на отрезке [0, π], [a,b],[0,1]

виды сходимости, в которых исследуется сходимость ряда Фурье. Практически важными

являются условия сходимости ряда Фурье в точке и в других метриках:
Суммируем по Чезаро в среднем
- сходимость в метрике Lp
- равномерно суммируем по Чезаро.
-  слабая сходимость.
Условие поточечной сходимости дается теоремой:
Если f –суммируемая функция и при фиксированном x и некотором

δ>0 интеграл
существует (условие Дини), то частичные суммы ряда Фурье
функции сходятся в этой точке x к f (х).

разрывы лишь первого рода и пусть f имеет в каждой

точке левую и правую производные. Тогда ее ряд Фурье сходится всюду, а его сумма равна f(x) в точках непрерывности и равна
½( f (х+0) + f (х-0)) в точках разрыва.

Имеет место равенство Парсеваля - для ортонормированной системы, а для ненормированной системы выполнено
неравенство Бесселя

ортогональных систем функций,
заданных на отрезке и числовой прямой. Наиболее

широко
применяются следующие их виды:
Тригонометрическая система
Многочлены Лежандра. Они получаются ортогонализацией
одночленов xn на отрезке [-1,1]
3. Функции Эрмита - произведения многочленов Эрмита на
собственные функции преобразования Фурье.
Образуют ортогональную систему на всей числовой прямой.
Многочлены Эрмита являются решениями обыкновенного
дифференциального уравнения:

n=0,1,2,3,… С точностью до постоянного
сомножителя полиномы Эрмита совпадают с

совпадают
с выражениями

периодической функции представление в виде ряда Фурье определяет спектр сигнала.

Скорость сходимости ряда определяется дифференциальными свойствами исходной функции.
Чтобы продемонстрировать данный факт, следует опираться на следуающие теоремы о почленном
дифференцировании и интегрировании рядов.
Почленный переход к пределу
Рассматриваем функциональный ряд
(1)
Теорема1. Пусть каждая из функций un(x) (n=1,2,3,…) определена в области X и имеет при стремленииx x
к а конечный предел:
Если ряд (1) в области сходится равномерно, то
1) сходится ряд составленный из этих пределов
и 2) сумма ряда (1) также имеет при предел, именно:
Почленное интегрирование рядов
Теорема. Если функции un(x) (n=1,2,3,…) интегрируемы на отрезке [a,b] и составленный из них ряд
сходится в этом промежутке равномерно, то сумма ряда также будет интегрируема и интеграл от
суммы ряда представляется следующим образом:
Почленное дифференцирование рядов
Теорема. Пусть функции un(x) (n=1,2,3,…) определены в промежутке Χ=[a,b] и имеют в нем конечные
производные u΄ n(x). Если ряд (1) сходится хоть в одной точке, а ряд, составленный из производных
равномерно сходится на всем промежутке Х, то тогда ряд (1) сходится равномерно на всем промежутке
и его сумма имеет в Х производную, выражаемую равенством вида:

приходится сталкиваться
с различными дискретно заданными функциями, к которым также

возможно применить аппарат Фурье анализа в его дискретной версии.
Дискретное преобразование Фурье
Рассмотрим преобразование Фурье на множестве сеточных функций
Пусть f(x) – заданная непрерывная функция, определенная на отрезке [0,l].
fq , q= 0,1,…,N-1, x0=0, xN=l.
Периодически продолжим функцию f(x) на всю числовую ось, тогда
f(l)=f(0), определим точки сетки xq=qh=ql/N.
Получим сеточный аналог разложения Фурье.
В силу разложения Фурье для периодической функции в точках сетки
выполнено .


Преобразуем эту сумму. Пусть n=Np+r,
r=0,…N-1. Тогда сумма может быть представлена в виде:

задана своими дискретными
значениями, то мы можем ее разложить по

системе сеточных функций




Аналогично, мы можем провести разложение по системе cos(xq) и sin(xq).
Этот факт находится в полном соответствии с выводом линейной алгебры
о разложении элемента RN по системе из N линейно независимых векторов.
В данном случае значения фунций образуют линейно независимую систему
векторов.
Покажем ортогональность данной системы функций.
Рассмотрим скалярное произведение двух функций: f(xq) и





так как при s≠n

следует также что

расчета
дискретного Фурье разложения функции. Для расчета каждого
коэффициента следует

произвести порядка N2 операций .
Но в некоторых случаях существует алгоритм быстрого
преобразования Фурье (БПФ)

Пусть N=s1 ∙s2 . Требуется подсчитать коэффициенты Фурье:



представим номер коэффициента n в виде: n=t ∙s1+m,
а номер точки в виде: .
Тогда сумма распишется в виде:

p, продолжая равенство, получаем:



. За счет операции «вынесения за скобки»

достигается экономия количесва операций примерно меньше в s1 раз
Аналогично, если N=s1∙s2 ∙s3 можно продолжить преобразование дальше. На практике применяют алгоритм БПФ , когда N=2n , при этом количество операций оценивается примерно как N lnN .

при величину

трактовать как шаг разбиения, то сумму можно толковать как Риманову сумму для функции


Формально совершая предельный переход ,
получаем:


что представляет собой интегральную формулу Фурье, которую можно переписать в более симметричном виде:

заданных на всей числовой прямой.Выше мы вывели следующую формулу:

(1)
Формула (1) выражает содержание основной теоремы, на которую
мы будем постоянно опираться в дальнейшем изложении:
Теорема. Если f(x) - абсолютно интегрируемая на числовой прямой функция, то справедлива интегральная формула (1).
Формула Фурье может быть записана в комплексной форме:



Введем обозначение:
(3)

Функция определенная формулой (3) называется преобразованием Фурье функции f(x).

Свойства преобразования Фурье.

1)

1) Линейность:


2) Свойство подобия:


3) Непрерывность:


Если в L1(R), то равномерно.

4) Преобразование Фурье производной, если производная абсолютно интегрируема:



- доказательство проводится интегрированием по частям.

5)      Преобразование Фурье первообразной



-

первообразная должна существовать и быть абсолютно интегрируемой.
6)      Теорема о сдвиге.


7)   Дифференцирование преобразования Фурье.


для справедливости формулы требуется чтобы
либо
8)      Теорема о модуляции

10)      Равенство Парсеваля.

, если

11 )      Убывание на бесконечности.

Если f и ее производная до порядка (n-1) →0 при |x| →∞ то




12 )      Теорема Планшереля.

уравнения при преобразовании Лапласа

Преобразование с функциями Бесселя первого и второго

родов для решения эллиптического уравнения в цилиндрических координатах