Слайд 1Специальные главы математики
Лекция 11
Слайд 2Классификация особых точек функции
Слайд 3§ 10. Вычеты функции в ее особых точках
Вычетом функции f(z)
в ее изолированной особой точке z0 называется число
где γ+
− положительно ориентированная
граница окрестности точки z0, не содержащая других особых точек функции (рис.)
Принято также другое обозначение вычета:
Слайд 4Способы вычисления вычетов
1. Вычисление вычета через коэффициенты ряда Лорана.
Разложим функцию
f(z) в ряд Лорана в окрестности ее особой точки z0,
проинтегрируем по положительно ориентированной окружности γ+ с центром в точке z0 и воспользуемся тем, что
Слайд 62. Вычет в устранимой особой точке.
В окрестности устранимой особой точки
z0 ряд Лорана функции не содержит отрицательных степеней (z −
z0), следовательно, с−1 = 0.
Таким образом, в устранимой особой точке
Слайд 73. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
Если z0 – П(1)
функции f(z), то разложение функции в ряд Лорана в окрестности
точки z0 имеет вид:
Умножим это равенство на (z − z0):
Переходя к пределу при (z→ z0), получим:
т.е. в полюсе первого порядка
Слайд 84. Вычисление вычета функции
если
Таким образом,
Слайд 95. Вычисление вычета в полюсе k-го порядка.
Если z0 – П(k)
функции f(z), то разложение функции в ряд Лорана в окрестности
точки z0 имеет вид:
Умножим это равенство на (z − z0)k
и продифференцируем (k − 1) раз:
Слайд 10
Переходя к пределу при (z→ z0), получим
Таким образом, в полюсе
k-го порядка
Слайд 14§11. Применение вычетов к вычислению интегралов
1.
Теорема 1. Пусть функция f(z)
является аналитической в замкнутой области D с положительно ориентированной границей
L+ за исключением изолированных особых точек z1, z2,…, zn, лежащих внутри D. Тогда
Слайд 15Следствие. Если функция f(z) является аналитической всюду, кроме конечного множества
особых точек
z1, z2,…, zn, , то сумма вычетов этой
функции во всех особых точках и вычета в бесконечности равна нулю,
т.е.
Слайд 17
2. (интеграл от ФДП)
Теорема 2. Пусть
1) функция
f(x) совпадает с f(z) и непрерывна на (− ∞; +
∞)
2) функция f(z) является аналитической в верхней полуплоскости, за исключением изолированных особых точек z1, z2,…, zn,
3) существуют положительные числа М, R0, δ такие, что
при условии, что |z| = R ≥ R0,
Тогда
Слайд 18Следствие. Пусть функция есть отношение двух многочленов (n −
k > 1) и z1, z2,…, zN
есть нули знаменателя
Qn(z), лежащие в верхней полуплоскости. Тогда
Слайд 203.
Так как то
Следовательно, I2 = Re
I1, I3 = Im I1.
Слайд 21Теорема 3. Пусть
1) функция f(x) совпадает с f(z) и
непрерывна на (− ∞; + ∞)
2) функция f(z) является аналитической
в верхней полуплоскости, за исключением изолированных особых точек z1, z2,…, zn,
3) на полуокружности
причем ε(R) → 0 при R → ∞.
Тогда
Слайд 22Следствие. Пусть функция есть отношение двух многочленов , где
k < n, и z1, z2,…, zN
есть нули знаменателя
Qn(z), лежащие в верхней полуплоскости.
Тогда
Слайд 244. (интеграл от ФДП)
Замена: eix = z. Тогда отрезок интегрирования [0;
2π] отображается в окружность комплексной плоскости
|z| = 1, при
этом
![4. (интеграл от ФДП)Замена: eix = z. Тогда отрезок интегрирования [0; 2π] отображается в окружность комплексной плоскости |z|](/img/thumbs/2a261e9f56d9432ad10e6077412c5970-800x.jpg "Специальные главы математики 4. (интеграл от ФДП)Замена: eix = z. Тогда отрезок интегрирования [0; 2π]")
