Слайд 1СТАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов
(Конспект лекций)
Владивосток
2011
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Морской государственный
университет
им. адм. Г. И. Невельского
Составил В. Г. Непейвода
Слайд 2 Введение
1. Основные понятия статики
1.1. Абсолютно твёрдое тело
1.2. Свободное (несвободное
тело)
1.3. Сила. Система сил
1.4. Проекция силы на ось
1.5. Определение модуля
силы
1.6. Главный вектор системы сил
1.7. Момент силы относительно точки
1.8. Момент силы относительно оси
1.9. Главный момент системы сил
2. Аксиомы статики
3. Сходящаяся система сил
Слайд 33.1. Приведение сходящейся системы сил к центру
3.2. Условия равновесия сходящейся
системы сил
3.3. Теорема о трёх силах
4. Теория пар сил
4.1. Пара
сил. Система пар сил
4.2. Момент пары сил
4.3. Сложение моментов пар сил
4.4. Условия равновесия пар сил
5. Приведение сил к центру
5.1. Теорема о параллельном переносе силы
5.2. Теорема о приведении системы сил к центру
5.3. Условия равновесия произвольной системы сил
5.4. Уравнения равновесия произвольной системы сил
Слайд 46. Связи. Силы реакций связей
5.5. Уравнения равновесия плоской произвольной системы
сил
7. Решение задач статики
7.1. Рекомендации по решению задач статики
8. Центр
тяжести
8.1. Равнодействующая двух параллельных сил
8.2. Центр системы параллельных сил
8.3. Центр тяжести твёрдого тела
8.4. Способы определения координат центра тяжести тела
Слайд 5Введение
Наука о механическом движении и взаимодействии
материальных тел называется
теоретической механи-кой.
Механическим движением называют происходящее с течением времени
изменение взаимного положения материальных тел в пространстве.
Под механическим взаимодействием понимают те действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация).
Слайд 6 Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик
и с развитием этой науки в ней появился целый ряд
самостоятельных областей, связанных с изучением механики твёрдых тел
Современная механика представляет собой целый комплекс общих и специальных дисциплин, посвя-щённых проектированию, и расчёту различных конструкций, сооружений, механизмов и машин.
Однако всё это многообразие опирается на ряд основных понятий, законов, принципов, методов, общих для всех областей механики. Рассмотрение этих закономерностей движений материальных тел и методов их применения и составляет предмет теоретической (или общей) механики.
Слайд 7 При изучении какого-либо явления необходимо выделять в нём
наиболее существенное, главное, абстрагируясь от других незначительных сторон явления. В
результате этого исследуются некоторые модели (схемы) реальных тел, процессов, явлений. Такими научными абстракциями являются все вводимые в механике исходные положения и понятия, модели материальных тел, схемы их взаимодействия и т. д. Отвлекаясь при наблюдении и изучении единичных предметов и явлений от всего частного, индивидуального, мы получаем возможность подойти к установлению общих закономерностей механи-ческого движения.
Слайд 8 Таковыми и являются законы, теоремы и принципы теоретической
механики, которые установлены в результате обобщения результате многочисленных опытов. Правомерность
основных положений и выводов механики подтверждается многовековой практической деятельностью человечества.
Слайд 9Статика твёрдого тела
Статика – это раздел теоретической
механики, в котором изучаются методы эквивалентных преобразо-ваний систем сил и
устанавливаются условия равно-весия сил, приложенных к твёрдому телу.
Слайд 10Преобразование систем сил, действующих на твёрдое тело, в эквивалентные им
системы сил простейшего вида.
Задачи статики
2. Определение условий равновесия систем сил,
действующих на твёрдое тело.
Эти задачи решаются геометрическими или аналитическими способами.
При аналитических методах решения задач статики используют понятие о проекциях вектора силы на координатную ось.
Слайд 11Абсолютно твёрдое тело – совокупность матери-альных точек, в которой
расстояние между двумя любыми точками остаётся неизменным.
Модель
применяется в тех случаях, когда деформации тела по отношению к его размерам столь незначительны, что ими можно пренебречь.
1. Основные понятия статики
1.1. Абсолютно твёрдое тело
Слайд 12Абсолютно твёрдое тело (в дальнейшем твёрдое тело или тело) называется
свободным, если его перемещения из данного положения ничем не ограничиваются,
рис.1.
1.2. Свободное (несвободное) твёрдое тело
Слайд 13 Тело, перемещениям которого в пространстве
препятствуют другие тела, называется
несвободным, рис. 2.
Слайд 141.3. Сила. Система сил
Состояние покоя или
движения тела зависит от характера его механического взаимодействия с другими
телами.
В качестве меры механического взаимодействия материальных тел используется векторная величина, которая называется силой.
Сила отражает следующие характеристики меха-нического взаимодействия тел: точку приложения силы, абсолютное числовое значение (модуль) силы, направление действия силы, рис. 3.
Слайд 181.4. Проекция силы на ось
Проекция силы на ось
есть алгебраическая вели-чина, равная произведению модуля силы на коси-нус угла
между вектором силы и положительным направлением оси.
Если вектор силы направлен в положительную
сторону оси, то её проекция на ось будет положитель-
ной. В противном случае проекция силы на ось
величина отрицательная.
Слайд 20
Определить проекцию силы F на ось x, если F =
10 H, угол α = 30o.
Задание 1
Ответ: 8,66
Задание 2
Определить
проекцию силы Q на ось x, если Q = 10 H; угол α = 60o.
Ответ: -5
Слайд 22Пример 2
Определить модуль и направление силы, если её
проекции на координатные оси равны: Fx = 20 H, Fy
= 15 H, Fz = 30 H.
Решение
(С использованием пакета Mathcad)
Слайд 23 Направляющие косинусы:
Углы в радианах между вектором
силы и координатными осями:
Углы в градусах:
Слайд 24Задание 3
Определить модуль и направление силы, если её
проекции на координатные оси равны: Fx = 50 H, Fy
= 12 H, Fz = 20 H.
Слайд 251.6. Главный вектор системы сил
Вектор, равный геометрической сумме
векторов сил, системы, называется главным вектором этой системы сил.
Слайд 26 Направление главного вектора определяется направ-ляющими косинусами
Слайд 27Задание 4
Определить модуль главного вектора сходящихся системы сил F1 =
10 H, F2 = 15 H, F3 = 20 H,
если α1 = 30o, α2 = 45o, α3 = 60o.
Слайд 28Решение
(С использованием пакета Mathcad)
Слайд 29 Моментом силы относительно точки О называется вектор равный
векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы относительно точки О
на вектор силы:
1.7. Момент силы относительно точки
Слайд 30 Вектор момента приложен в точке О и направлен
перпендикулярно плоскости, прохо-дящей через центр О и силу в ту
сторону, откуда вращение, которое стремится совершить сила, будет видно происходящим против хода часовой стрелки, рис. 5 .
Слайд 31 Модуль вектора момента равен
где h – плечо силы
(длина перпендикуляра, опущенного
из точки О на линию действия силы).
Слайд 33Для сил, расположенных в одной плоскости применяется алгебраический момент.
Алгебраическим моментом силы относительно точки на плоскости называют величину, равную
произведению модуля силы на ее плечо относительно этой точки, взятую со знаком плюс или минус:
Слайд 34Момент считается положительным, когда сила стремится повернуть тело вокруг центра
О против хода часовой стрелки.
Свойства момента силы относительно
точки (центра):
1) момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль линии её действия, так как при этом не меняется плечо силы;
Слайд 352) момент силы относительно точки равен нулю, когда линия действия
силы проходит через эту точку (плечо равно нулю).
Слайд 36Пример 3
Балка АС находится в равновесии под действием системы сил,
приведенной на рисунке. Определить сумму моментов всех сил, если АВ
= 1,5 м, ВС = 1,5 м, F = 6 кН, XA = 3,93 кН, YA = 4,27 кН, RC=1,32 кН, M = 5 кНм.
Слайд 38Моменты сил XA, YA равны нулю, так как линии их
действия пересекают моментную точку А.
Чтобы определить моменты сил F, и
RC применим теорему Вариньона: момент равнодействующей силы равен моменту сил, составляющих её.
Разложим силы F и RC по координатным осям.
Слайд 39Находим моменты этих сил относительно точки А.
Находим сумму моменты сил.
Сумма
моментов сил относительно точки не равна нулю. Следовательно балка не
находится в равновесии.
Слайд 401.8. Момент силы относительно оси
Чтобы оценить вращательный эффект, который
создаёт сила относительно какой-либо оси, используют алгебраическую величину, которая называется
моментом силы относительно оси.
Момент силы относительно оси определяется в такой последовательности, рис. 6:
Слайд 41строим плоскость, перпендикулярную оси;
Слайд 422) проецируем силу на эту плоскость;
Слайд 433) находим плечо проекции силы относительно точки пересечения оси с
плоскостью;
Слайд 444) вычисляем произведение проекции силы на плечо;
5) определяем знак момента.
Момента силы имеет знак (+), если с положитель-ного
конца оси поворот, который стремится совер-шить проекция силы на плоскость Q виден против хода часовой стрелки, и знак (-),если по ходу часовой стрелки. Следовательно момент силы на рис. 6 равен:
Слайд 45Момент силы относительно оси равен нулю, если:
сила параллельна оси;
линия действия
силы пересекает ось.
Слайд 46 Момент силы относительно точки связан с моментом силы
относительно оси, проходящей через эту точку следующим соотношением:
Из приведенного равенства следует: проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку равна моменту силы относительно этой оси.
Слайд 47 Если известны углы которые составляет векторный момент силы
относительно точки с координатными осями, то её моменты относительно осей
равны, рис. 8:
Слайд 48 Зная моменты силы относительно координатных осей,
найдём модуль момента
силы относительно точки по
формуле:
где α, β, γ – углы
между направлением векторного момента силы и положительными направлениями соответственно осей x, y, z, рис. 8.
Слайд 50 Направление главного момента определяется направ-ляющими косинусами
Слайд 51 Аксиома 1. Под действием двух сил тело
находится в равновесии, если эти силы равны по модулю, противоположны
по направлению и имеют общую линию действия.
2. Аксиомы статики
Слайд 52 Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно
твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от,
нее отнять уравновешенную сис-тему сил.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твёрдое тело не изменяется, если силу
перенести вдоль линии ее действия.
Рис. 10
Слайд 53 Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в
одной точке, имеют равнодействующую, прило-женную в той же точке и
равную диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Слайд 54Рис. 12
На первом рисунке равнодействующая двух сил приложена
в точке А. На втором рисунке система двух сил не
имеет равнодействующей. Их геоме-трическая сумма равна главному вектору этой сис-темы сил.
Слайд 55 Модуль равнодействующей силы вычисляется по
формуле
Слайд 56 Аксиома 4. Силы, взаимодействия двух тел равны по
величине противоположны по направлению и лежат на общей линии действия.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие деформируемого тела под действием данной системы сил не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.
Слайд 573. Сходящаяся система сил
3. 1. Приведение сходящейся системы сил к
центру
Рассмотрим твёрдое тело, которое находится в равновесии под
действием системы сходящихся сил, рис. 2, линии действия которых пересекаются в точке С, рис. 15.
Слайд 58 Приведём эту систему сил к центру С. Для
этого применим следствие из второй аксиомы статики и перенесём все
силы вдоль их линий действия в точку С. В результате получим систему сил, приложенных в одной точке, рис. 16.
Слайд 59 Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной
силе – равнодействующей, приложенной в точке пересечения линий действия сил
и равной геометрической сумме этих сил, т. е. главному вектору этой системы сил.
Сложим эти силы по правилу треугольника, рис. 17.
Слайд 603. 2. Условия равновесия сходящейся системы сил
Рассмотрим твёрдое
тело, которое находится в равновесии под действием сходящейся системы сил
Применяя аксиомы статики, рассматриваемую систему сходящихся сил можно заменить равно-действующей (или главным вектором). Однако, если система сил уравновешена, то равнодействующая этой системы сил равна нулю.
Так как система сил уравновешена, то она эквива-лентна нулю:
Слайд 61 В результате получим векторное условие равно-весия сходящейся системы
сил: для того чтобы тело под действием сходящейся системы сил
находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил был равен нулю.
Следовательно, будет равен нулю и главный вектор этой системы сил.
Слайд 62 Так как главный вектор равен геометрической сумме сил,
то эта сумма также будет равна нулю
Складывая геометрически
эти силы, получим замкнутый силовой многоугольник, так как замыка-ющий вектор – главный вектор равен нулю.
Следовательно, если твёрдое тело находится в равновесии под действием сходящейся системы сил, то силовой многоугольник, построенный на этих силах будет замкнутым.
Слайд 63 Введём координатные оси Оxyz и спроецируем векторную сумму
сил
на эти оси.
В результате приходим к
выводу. Если твёрдое тело находится в равновесии под действием сходящихся сил, то для них можно составить три уравнения равно-весия: суммы проекций этих сил на каждую из трёх декартовых координатных осей равны нулю:
Слайд 64 Если тело находится в равновесии под действием плоской
сходящейся системы сил, рис. 18
то для неё можно составить
два уравнения равновесия:
Слайд 653.3. Теорема о трёх силах
Теорема. Если тело находится
в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной
плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Слайд 664. Теория пар сил
Парой сил называется система двух
параллельных, равных по модулю и противоположных по направ-лению сил, рис.
20.
4.1. Пара сил. Система пар сил
Слайд 67 Плоскость, проходящая через лини действия сил пары, называется
плоскостью действия пары.
Расстояние h между линиями действия сил
пары называется плечом пары, рис. 21.
Слайд 68 Пары, расположенные в одной плоскости образуют плоскую систему
пар, рис. 22. Пары, расположенные в пространстве произвольным образом образуют
пространственную систему пар, рис. 23.
Слайд 69 Действие пары сил на твёрдое тело сводится к
вращательному эффекту, мерой которого является момент пары.
4.2.
Момент пары сил
Рассмотрим пару сил, на рис. 24.
Выберем произвольный центр О и найдём главный момент пары сил относительно этого центра, рис. 25.
Слайд 70 Главный момент пары сил относительно центра О равен:
Слайд 73и направлен перпендикулярно плоскости действия пары сил, рис. 25, 26.
Таким образом момент пары сил равен главному моменту
сил пары относительно любого центра.
Вектор момента пары равен векторному произве-дению
Слайд 76 1) модуль момента пары равен произведению силы пары на
её плечо;
Из векторного выражения момента пары следует:
Слайд 77 2) вектор момента пары направлен перпендикулярно плоскости действия
пары в ту сторону, откуда видно, что пара стремится сообщить
вращение плоскости действия против хода часовой стрелки.
Слайд 78 3) момент пары не зависит от положения пары
относительно центра О и, следовательно, вектор момента пары может быть
приложен в любой точке пространства, то есть он является свободным вектором.
Слайд 79 Если рассматриваются пары сил, лежащие в одной плоскости,
то эту плоскость совмещают с плоскостью чертежа. Вместо вектора момента
каждой пары векторами сил или стрелкой показывают направление, в котором пара стремиться вращать плоскость действия, рис. 27, 28.
Слайд 80 Момент считается положительным, если пара стремится вращать
плоскость действия против хода часовой стрелки. В противном случае момент
пары считается отрицательным.
Момент каждой пары равен произведению силы пары на плечо взятому со своим знаком.
Слайд 811) при переносе пары сил куда угодно в плоскости её
действия;
Из доказанного следует, что момент пары сил не
изменяется, в следующих случаях:
Слайд 832) при повороте пары сил в плоскости её действия;
Слайд 843) при переносе пары сил из плоскости её действия в
параллельную плоскость.
Слайд 854.3. Сложение моментов пар сил
Рассмотрим систему пар сил,
плоскости действия которых расположены произвольно в пространстве, рис. 29.
Слайд 86 Векторы моментов пар – свободные векторы. Поэтому выберем
произвольную точку С и перенесём моменты пар в эту точку.
В результате получим сходящуюся систему векторов рис. 30.
Слайд 87 Складывая векторы моментов пар, получим многоугольник, замыкающей стороной
которого будет момент пары, эквивалентной данной системе пар. Плоскость действия
этой пары перпендикулярна её моменту рис. 31.
Слайд 88 При сложении пар сил, расположенных в плоскости, моменты
пар складываются алгебраически. Результи-рующая пара прикладывается в любой точке тела.
Её момент равен алгебраической сумме пар сил, рис. 32 .
Слайд 894.4. Условия равновесия пар сил
Если тело находится в
равновесии под действием произвольной системы пар, то геометрическая сумма их
моментов равна нулю.
Таким образом, для того чтобы тело под действием произвольной системы пар сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов пар была равна нулю.
Слайд 90 Если тело находится в равновесии, под действием системы
пар, расположенных в одной плоскости, то алгебраическая сумма их моментов
равна нулю.
Таким образом, для того, чтобы тело под действием пар сил, расположенных в одной плоскости, находи-лось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма их моментов была равна нулю.
Слайд 915.1. Теорема о параллельном переносе силы
Рассмотрим тело, на которое действует
сила, прило-женная в точке А, рис. 33.
Согласно
второй аксиоме статики её действие на тело не изменится, если в произвольной точке В приложить две уравновешенные силы.
5. Приведение сил к центру
Слайд 93 Таким образом, силу, не изменяя её действия на
тело, можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела,
добавив при этом пару сил, с моментом, равным моменту заданной силы относительно её новой точки приложения.
Слайд 945.2. Теорема о приведении системы силы
к центру
Рассмотрим твёрдое
тело, на которое действует произвольная пространственная система сил
Слайд 95 Выберем произвольную точку тела О и перенесём в
неё все силы, применяя теорему о параллельном пере-носе силы.
Слайд 96 В результате в точке О будут приложены две
группы векторов:
Слайд 97 Таким образом: любую произвольную систему сил, действующую на
твёрдое тело, можно заменить одной силой, равной главному вектору системы
сил, и парой, момент которой равен главному моменту сил относительно центра приведения (рис. 38).
Слайд 995.3. Условия равновесия
произвольной системы сил
Рассмотрим твёрдое тело,
которое находится в равновесии под действием произвольной системы сил:
В соответствие с теоремой о приведении сил к центру эта система сил эквивалентна главному вектору системы сил и главному моменту этой системы сил относительно центра приведения сил.
Слайд 100 Из приведенных равенств следует:
Таким образом, для
того чтобы тело под действием произвольной системы сил находилось в
равновесии, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил относительно центра приведения сил равнялись нулю.
Слайд 1015.4. Уравнения равновесия
произвольной системы сил
Запишем условия равновесия
произвольной системы сил.
Главный вектор и главный момент равны
векторным суммам:
Следовательно, для уравновешенной системы сил эти суммы раны нулю:
Слайд 102 Таким образом, если тело под действием приложенной к
нему системы сил находится в равновесии, то векторная сумма сил
и сумма векторных моментов сил относительно центра приведения сил равны нулю.
Слайд 103 Построим декартова координатные оси с началом в центре
приведения сил.
Спроецируем на эти оси векторные равенства:
Слайд 105 Используя связь между моментом силы относительно точки и
моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, получим
Слайд 106 Таким образом, если твёрдое тело находится в равновесии
под действием произвольной системы сил, то для неё можно составить
шесть уравнений равновесия:
Слайд 1075.5. Уравнения равновесия
плоской произвольной системы сил
Система сил,
линии действия которых расположены произвольно в одной плоскости, называется плоской
произвольной.
Слайд 108 Плоская произвольная система сил является частным случаем пространственной
произвольной системы сил.
Запишем уравнения равновесия пространственной произвольной системы
сил и выберем из них уравнения, соответствующие плоской произвольной системе сил.
Слайд 109 Таким образом, если твёрдое тело находится в равновесии
под действием плоской произвольной системы сил, то для неё можно
составить три уравнения равновесия:
Кроме этих уравнений для плоской произвольной системы сил можно получить следующие две формы уравнений равновесия:
Здесь А, В – два произвольных центра; Ox – ось, не перпендикулярная прямой AB.
Слайд 110 Из представленных уравнений три уравнения для плоской произвольной
системы сил являются тождествами:
Так как на плоскости момент
силы относительно оси z совпадает по величине и по знаку с моментом силы относительно начала координат, то последнее уравнение запишем в таком виде:
Слайд 111 Здесь А, В, С – три произвольных
центра, не лежащие на одной прямой.
Слайд 1126. Связи и силы реакций связей
Свободное тело –
твёрдое, не закреплённое тело, которому можно сообщить любые перемещения в
пространстве.
Несвободное тело – твёрдое тело, перемещения которого в пространстве ограничены другими телами, скреплёнными или соприкасающимися с ним.
Связи – тела, ограничивающие перемещения данного
тела в пространстве.
Сила давления – сила, с которой тело действует на связь.
Слайд 113 Сила реакции связи – сила, с которой
связь дей-ствует на рассматриваемое тело.
Направление силы реакции связи.
Сила реакции связи направлена противоположно тому направлению, в котором связь препятствует перемещению данного тела.
Активные силы – это силы, которые могут сообщить
движение свободному телу.
Гладкая поверхность – это поверхность, трением со стороны которой можно пренебречь. Сила реакции гладкой поверхности направлена по общей нормали в точке контакта поверхностей соприкасающихся тел и приложена в этой точке, рис. 44.
Слайд 114 Если гладкое тело опирается на ребро, то сила
реакции направлена по нормали к поверхности тела, рис. 45.
Слайд 115 При действии тела ребром на гладкую поверхность
сила реакции направлена по нормали к поверхности
связи, рис. 46.
Цилиндрический шарнир - устройство, обеспечива-ющее вращение тела вокруг оси. Сила реакции цилин-дрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, рис. 47 а.
Слайд 116Рис. 47
На практике сила реакции заменяется ее составляю-
щими,
направленными в стороны положительных
направлений координатных осей, 47 б.
Шарнирная неподвижная опора - неподвижная
опора, снабженная цилиндрическим шарниром.
Сила реакции шарнирной неподвижной опоры
направлена так же, как и сила реакции цилиндричес-кого шарнира, рис. 48.
Слайд 117 Шарнирная подвижная опора - подвижная опора
(на роликах,
скользящая), снабженная цилиндрическим
шарниром. Сила реакции шарнирной подвижной опоры
направлена
перпендикулярно опорной поверхности,
рис.49.
Слайд 118 Сферический шарнир - устройство, обеспечиваю-щее движение тела вокруг
одной его неподвижной точки.
Сила реакции сферического шарнира
проходит через
неподвижную точку тела и может иметь любое направ-ление в пространстве.
При расчетах сила реакции представляется в виде трех взаимно перпендикулярных составляющих,
рис. 50.
Слайд 119 Невесомый стержень – это стержень, весом которого
по
сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно
пренебречь.
Сила
реакции невесомого шарнирно закрепленного за концы прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня.
Стрелка вектора силы реакции направлена внутрь стержня, если он растянут, и наружу, если стержень сжат, рис. 51, 52, 53.
Слайд 120 При расчёте ферм способом вырезания узлов все стержни,
действующие на рассматриваемый узел, считают растянутыми и их реакции изображают
векторами, направленными от узла. Из уравнений равновесия определяют алгебраические значения реакций стержней, рис. 54.
Слайд 121Стержни, у которых расчётные реакции имеют знак (+) работают на
растяжение, а стержни, у которых расчётные реакции имеют знак (–)
работают на сжатие.
Криволинейный стержень. Сила реакции невесомого шарнирно закрепленного криволинейного стержня направлена вдоль линии, соединяющей шарниры на концах стержня рис. 55.
Слайд 122 Подпятник – устройство, обеспечивающее непо- движность конца вала
(как правило, вертикально -го). Сила реакции подпятника проходит через непод
-вижную точку нижнего торца вала и может иметь лю- бое направление.
При расчетах сила реакции представляется в виде трех взаимно перпендикулярных составляющих,
рис. 56.
Слайд 123 Шероховатая поверхность - поверхность, трение
которой учитывают при
решении задач.
Сила реакции шероховатой поверхности отклонена от
общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в
сторону, противоположную направлению, в котором
связь препятствует скольжению рассматриваемого
тела, рис. 57.
Слайд 124В расчетах сила реакции шероховатой поверхности представляется в виде двух
составляющих: силы, перпендикулярной поверхности связи (нормальной реакции), и силы, направленной
по касательной к поверхности
FТР = f Rn,
где - f коэффициент трения; Rn - величина нормальной реакции связи.
Невесомая гибкая нерастяжимая нить - гибкая связь, имеющая по сравнению с воспринимаемой нагрузкой малый вес, малую растяжимость и требующая малых усилий для изгиба.
Слайд 125 Сила реакции невесомой гибкой нерастяжимой нити направлена от
рассматриваемого тела вдоль нити к точке ее закрепления, рис. 58.
Если нить принимает под действием распределенной нагрузки криволинейную форму, то сила реакции нити направлена по касательной к нити в точке крепления ее к рассматриваемому телу, рис. 59.
Слайд 126 Жесткая заделка («заделка») - связь, обеспечива-ющая неподвижное
закрепление оконечности бруса.
Если на брус действует плоская система
сил, то ре -акция «заделки» приводится к двум составляющим – силе и моменту. При расчёте силы реакции «заделки» её представляют в виде двух взаимно перпендикуляр-ных сил, рис. 60.
Слайд 127 Если брус находится под действием сил, расположенных
произвольно в пространстве, то силы реакции «заделки» можно представить в
виде трех взаимно перпендикулярных составляющих и трех мо-ментов относительно соответствующих осей, рис. 61.
Слайд 1287. Решение задач статики
7.1. Рекомендации по решению задач
Рекомендуется
придерживаться следующего плана.
1. Ознакомиться с условием задачи, записать
его в
краткой форме, выполнить рисунок к задаче.
При решении задач, относящихся к равновесию несвободного твёрдого тела, используется метод освобождения от связей: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить мысленно все наложенные на него связи и заменить их соответствующими реакциями.
Слайд 129 а) определить по условию задачи тело (узел), равно-весие
которого необходимо рассмотреть, и изобразить его отдельно на рисунке;
б) показать на рисунке заданные активные силы, действующие на тело (узел); если на тело действуют распределённые силы – заменить их равнодействую-щими;
в) определить виды связей, наложенных на тело, и показать на рисунке силы реакций этих связей (в том
числе и момент сил реакций, если они имеются);
2. Составить расчётную схему задачи в следующей
последовательности:
Слайд 130 3. Определить, какая система сил действует на рас-сматриваемое
тело, и составить соответствующие ей уравнения равновесия.
4. Решить
уравнения относительно неизвестных в задаче.
5. Выполнить проверку решения.
г) выбрать оси координат, если планируется анали-тическое решение задачи.
Слайд 1318. Центр тяжести
8.1. Равнодействующая двух параллельных сил
Рассмотрим две
параллельные силы, приложенные в точках А1 и А2. (см. рис.).
Равнодействующая этой системы сил равна сумме этих сил и приложена в точке С. Последовательность определения равно-действующей приведена на рисунке.
Слайд 135 Равнодействующая двух параллельных сил, направ-ленных в одну сторону,
равна сумме этих сил:
Слайд 136откуда
Чтобы найти положение точки приложения равно-действующей двух параллельных
сил, воспользуемся теоремой Вариньона.
Слайд 138получим:
Полученное равенство показывает, что положение точки С при
повороте сил на один и тот же угол не изменилось.
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любом одинаковом повороте этих сил вокруг точек их приложения называется центром параллельных сил.
Слайд 139 Найдём центр параллельных сил, приложенных к твёрдому телу
(см. рис.).
8.2. Центр системы параллельных сил
Слайд 140 Так как положение точки С от направления параллельных
сил не зависит, то повернём все силы параллельно оси z.
Эта система сил имеет равно-действующую:
Слайд 141модуль которой равен
Применяем теорему Вариньона относительно оси y.
Слайд 143 Применяем теорему Вариньона относительно оси x.
Слайд 145 Повернём силы параллельно оси y и применим теорему
Вариньона относительно оси x.
Слайд 1478.3. Центр тяжести твёрдого тела
Центром тяжести твердого тела
называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит
линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом поло-жении тела в пространстве.
Слайд 148 Силы тяжести, действующие на каждую частицу твёрдого тела
образуют систему сил, параллельных вертикальной оси z. Поэтому координаты центра
тяжести твёрдого тела определяются по формулам, по которым определяется центр параллельных сил.
Слайд 149 Если тело является однородным, то вес pk любой
его частицы пропорционален объёму vk этой части тела:
где γ –
удельный вес тела.
Подставляя pk в формулы координат центра тяжести тела, получим координаты центра тяжести объёма.
Слайд 150 Если твёрдое тело выполнено в форме пластины, то
координаты его цента тяжести определяются по формулам:
где S – площадь
пластины; sk – площади частей, из которых состоит пластина.
Слайд 151 Координаты центра тяжести линии определяются по следующим формулам:
где
L – длина всей линии; lk –длина её частей.
Слайд 1528.4. Способы определения координат
центров тяжести тел
1. Симметрия.
Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то
его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.
Слайд 153 2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное
число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести
известно, то координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам, приведенным выше. При этом число слагаемых в каждом из числителей будет равно числу частей, на которые разбито тело.
Слайд 154 3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа
разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести
тела без выреза и вырезанной части известны.
Слайд 155 Затем переходят к пределу, устремляя к нулю. Тогда
стоящие в числителях суммы обращаются в интегралы, распространенные на весь
объем тела:
Слайд 156 Аналогично для координат центров тяжести плоского тела и
весомой линии получим:
Слайд 157 5. Экспериментальные способы. Центры тяжести неоднородных тел сложной
конфигурации можно определить экспериментально. Один из возможных экспериментальных методов (метод
подвешивания) состоит в том, что тело подвешивают на нити или тросе за различные его точки. Направление нити, к которой подвешено тело, будет каждый раз давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Другим возможным способом экспериментального определения центра тяжести является метод взвешивания. Устанавливают весы поочередно под опоры тела и определяют силы реакций опор. Затем составляют уравнение моментов относительно центра тяжести и находят его положение.
Слайд 158 Для определения координаты центра тяжести приме-няют экспериментальный способ.
Поставив колесо В на платформу весов, определяют взвешиванием силу давления
колеса на платформу. Тем самым мы найдём численное значение силы реакции опорной поверх-ности в точке В – RB. Таким же способом находим значение силы реакции поверхности в точке А – RA.
Слайд 159 Применяют теорему Вариньона, в соответствии с которой сумма
моментов сил относительно точки С равна нулю:
откуда следует
