Статистическая обработка экспериментальных данных

величины, а значения этих пара-метров, измеренные в конкретных опытах —

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными

Дискретные величины способны принимать лишь ограниченное число значений, известных заранее, например количество успешных опытов или каких-либо объектов, выражаемое целым числом, лежащем в заданном интервале.

Непрерывные величины могут принимать любое значение в некотором интервале

получить при реальном эксперименте, называется гипотети-ческой генеральной совокупностью
Исследователь делает конечное

Задача обработки сводится к определению по данным выборки показателей, оценивающих параметры генеральной совокупности.

Для правильного решения этой задачи необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины — зависимость, связываю-щую значения случайной величины и вероятность появления этих значений.

табличной форме
2. В графической форме — в виде полигона или гистограммы
Отличие

от значения случайной величины
а в гистограмме — плотность распределения вероятностей

равной вероятности того, что случайная величина X будет меньше

Такая функция называется интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины

величины на некоторый интервал [x1; x2]:
Эта функция неубывающая; F(–) = 0; F(+) = 1.

в виде дифференциальной функции, или плотности распределения вероятностей

фигуры под графиком функции f(x) на этом интервале:

должна быть равна 1, поскольку это вероятность попадания X на

Это свойство плотности распределения вероятно-стей называется свойством нормирования.

число параллельных опытов. В результате получают выборку реализаций величины X

Весь диапазон значений величин делят на равные интервалы. Число интервалов рекомендуется принимать равным

по которому можно оценить вид закона распределения плотностей вероятностей для

При построении графика условно принимают

данных зависимостью того или иного вида.
Известно несколько видов таких

mx и σ — параметры нормального закона (математическое ожидание и среднеквадрати-ческое отклонение)

независимых случайных факторов. Таково большинство погрешностей измерений.
Преимуществом нормального закона

их полной характеристикой, но не всегда удобны в для использования.

На практике используют числовые характерис-тики, которые не являются полным описанием случайной величины, но достаточны для решения большинства практических задач.

Математическое ожидание случайной величины характеризует положение центра группирования ее реализаций в генеральной совокупности.

для дискретных:

для непрерывных:

ожидания
Размерность дисперсии равна квадрату размерно-сти случайной величины, поэтому для удобства

для дискретных:

для непрерывных:

Коэффициент вариации показывает относительную величину рассеяния.

ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих

3. Математическое ожидание произведения нес-кольких случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

4. Математическое ожидание функции одной или нескольких случайных величин равно функции математических ожиданий этих величин:

величин равна сумме дисперсий этих величин:
3. Дисперсия произведения постоянной и случайной

или

или

среднее и среднеквадратическое отклонение, определенные для выборки объемом n:
где xi

случайной величиной, распределенной возле математического ожидания со среднеквадрати-ческим отклонением, равным

Из этого следует, что математическое ожидание можно оценить с высокой точностью даже не особенно точными приборами. Но при этом необходимо выполнить большое число независимых измерений. Например, для повышения точности в 3 раза число опытов необходимо увеличить в 9 раз. Рациональнее для повышения точности результата использовать более точные приборы, уменьшив Sx

— такая оценка называется точечной. При использовании точечных оценок остаются

3. Интервальные оценки измеряемых величин и их погрешностей

Этого недостатка лишены интервальные оценки, в основе которых лежит понятие доверительного интервала.

Доверительным называется такой интервал [mx–Δxп; mx+Δxп], вероятность попадания в который реализации случайной величины не ниже заданной вероятности P.

Величина α = 1 – P, равная вероятности ошибки, называется уровнем значимости или риском.

Если известен интегральный или дифференциаль-ный закон распределения вероятностей случайной величины, то

или

Δxп = σx (интервал mx ± σx) доверительная вероятность P = 0,683, а риск попадания

Такой риск слишком велик для большинства научных и технических применений. Интервальные оценки выполняют со значи- тельно большей вероятностью

попадания измерения в интервал mx ± 2σx составляет 0,955. Риск α = 0,045

Такой интервал широко используется в инженерной практике.

интервала mx ± 3σx риск составляет 0,0027, т.е. весьма мал.
Интервалы

В таком случае существует два способа определения доверительного интервала.
1. Определение доверительного

Класс точности прибора это выраженная в процен-тах относительная предельная погрешность измере-ния величины, равной пределу измерения прибора.

Например, если манометр с максимальным значе-нием по шкале 100 кгс/см2 имеет точность ε = 1%, то его абсолютная предельная погрешность

Δxп = 100·0,01 = 1 кгс/см2

Таким образом, доверительный интервал для результата измерения величины x составит

x ± Δxп.

выборки из n результатов измерений величины x доверительный интервал составит
где

Значения критерия Стьюдента при α = 5%

возможен случай, когда в одном или нескольких опытах получен результат,

Такой результат называют грубой ошибкой, а выборку, содержащую грубые ошибки — неоднородной.

Наличие в выборке грубых ошибок может существенно исказить результаты исследования, поэтому цель проверки однородности выборки — удалить из нее такие результаты.

доверительного интервала
где h — параметр, значение которого зависит от уровня

Если какой-либо результат выходит за пределы интервала, то он является грубой погрешностью, его следует исключить и оценку всех параметров выборки провести заново

Например, проводят испытания двух машин в одинаковых условиях, или устанавливают

Дисперсии выборок будут различными. Это разли-чие может быть статистически незначимым (дисперсии однородны) или статически значимым (дисперсии неоднородны).

В последнем случае выборки сопоставлять нельзя. Дальнейшая обработка результатов эксперимента при этом недопустима

(F-критерий)
Расчетное значение критерия сравнивается c критическим табличным  Fα (f1, f2), определяемым для

Если F < Fα (f1, f2), то дисперсии однородны.

При проверке однородности трех и более диспер-сий, имеющих одинаковые числа степеней свобо-ды, используется критерий Кохрена (G-критерий)

необходи-мость сравнения результатов измерения, представ-ленных двумя выборками (например, производи-тельность новой

Сравнивая выборочные средние, нужно быть уверенным, что разница между ними значима, т.е. вызвана изменениями в конструкции машины, а не является результатом погрешностей опытов

Обозначим разницу между выборочными средними

mZ и SZ – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение Z
или
n1 и

Доверительный интервал для этой величины

Дисперсия Z равна

числа степеней свободы двух дисперсий
Тогда математическое ожидание Z равно нулю

f = n1 + n2 – 2

одного или нескольких факторов, необходимо определить значимость влияния каждого из

Предположим, что необходимо установить, влияет ли изменение в заданном интервале фактора x на параметр y .

Установим m уровней фактора. На каждом уровне поставим по n параллельных опытов и определим выборочное среднее и дисперсию значений y для каждого уровня

Такая процедура называется дисперсионным анализом

определить средневзвешенную дисперсию погрешностей всех выборок
Рассмотрим совокупность выборочных средних как

а влияние фактора — не значимо.
В противном случае —