Статистичні висновки

ВСЮ генеральну сукупність зроблені на основі вибіркових даних з використанням

теорії ймовірностей.

* + + .. + * * : .
+ + * * . . - + -
. + * - - * *
- + . . *

+
+
*
*
.
.
-

Генеральна сукупність

Вибірка

Репрезентативна вибірка

Ймовірнісні концепції

з будь-якої генеральної сукупності розподіл середнього значення наближається до нормального

при збільшенні n.
Причому, середнє вибірки стає рівним математичному сподіванню генеральної сукупності, а стандартна похибка середнього значення

витрачає 20 грн з стандартним відхиленням 15 грн. За годину

магазин обслуговує 500 покупців. Яка ймовірність, що сумарна виручка від 500 покупців перевищить 10 500 грн?

Маємо, мат.сподівання сумарної виручки = 500*20=10 000 грн.

Стандартне відхилення= = 335.4 грн

Тому, ймовірність, що сумарна виручка від 500 покупців перевищить 10 500 грн =1-NORMDIST(10500;10000;335.4;1)=1-0.932=0.068

сукупності, то його ми можемо апроксимувати через стандартну похибку вибірки,

тобто

В такому випадку для аналізу варто використовувати не нормальний розподіл, а подібний до нього розподіл Стьюдента (t-розподіл). В Excel відповідні формули: =TDIST чи =СТУДРАСП і обернені формули =TINV чи =СТУДОБР.
Фактично, t-розподіл подібний до стандартного нормального.

розподілу Стьюдента є k –кількість степенів вільності
Математичне сподівання розподілу Стьюдента

= 0,
Дисперсія = k/(k-2),
При великих значеннях k, розподіл Стьюдента прямує до стандартного нормального розподілу.

задачі було невідоме станд. відхилення генеральної сукупності, а ми його

оцінили в 16 грн за рахунок вибірки, то ймовірність, що сумарна виручка від 500 покупців перевищить 10 500 грн була б рівна
=TDIST((10500-10000)/357.8;499;1)=0.0815, де 357.8= , а величина (10500-10000)/357.8 – це фактично перехід від нормального до стандартного нормального розподілу.

всю генеральну сукупність, то це веде до неточності в оцінках,

тому зазвичай використовують не точкові оцінки, а інтервальні, тобто будують довірчий інтервал для параметрів генеральної сукупності.

Довірчий інтервал для математичного сподівання рівний



Де - значення t-розподілу для двостороннього рівня довіри
- це ймовірність прийняти помилкове рішення, одже
- це рівень довіри тесту.

довірчий інтервал зменшується, тому задавши наперед неодхідну точність оцінки –

довжину довірчого інтервалу ми можемо знайти необхідний для цього обсяг вибірки. Формула для знаходження n така





де е – задана довжина довірчого інтервалу.

оцінити денну потребу в готівці. Для цього він взяв статистику

за випадкових п’ять днів по кількості готівки, що приносили клієнти (Х) та кількості готівки, що забирали клієнти (Y), вони отримали такі дані



Чи можна стверджувати на основі цих даних, що з ймовірністю помилки 5% їм не буде бракувати готівки?

Знайдемо 95% довірчий інтервал для мат.сподівання отримання та видачі готівки. Маємо


Стандартні похибки для X I Y рівні, відповідно, 8.246 і 7.483.

готівки рівний





Для мат.сподівання видачі готівки




Оскільки мінімальне значення мат.сподівання отримання готівки

(19.763) менше за максимальне значення мат.сподівання видачі готівки (22.922), то ми не можемо стверджувати, що з ймовірністю помилки в 5% банку щоденно буде вистачати готівки.

наступного значення генеральної сукупності.
Для цього достатньо скоректувати стандартну похибку таким

чином



Отже, довірчий інтервал прогнозу складе





Зауважте, тут замість стоїть s, оскільки нас цікавить не що в середньому станеться, а ЩО станеться.

для виробництва. Ви не хочете замовляти багато наперед, оскільки сплачуєте

відсотки за кредит, тим більше ви не хочете зупинки виробництва через відсутність комплектуючих. Дані за останні вісім поставок показали такі терміни виконання ваших замовлень в днях: 10, 9, 7, 10, 3, 9, 12, 5.
Середнє значення = 8.125, стандартне відхилення s=2.94897.
Скоректована стандартна похибка прогнозу рівна = 3.12786.
Тому, 95% двосторонній довірчий інтервал рівний (t-значення = 2.365)

Від 0.728=8.125-2.365*3.12786 до 8.125+2.365*3.12786=15.52.

Оскільки вас цікавить лише верхня межа, то можна порахувати односторонній довірчий інтервал прогнозу (t-значення = 1.895):
8.125+1.895*3.12786=14.05

основі вибіркових даних.
Якщо ми хочемо порівняти мат.сподівання генеральної сукупності з

наперед заданим числом, то сформулюємо це як гіпотезу:




Щоб протестувати таку гіпотезу достатньо обчислити t-статистику



І порівняти це значення з критичним (табличним) значенням t-розподілу для заданої точності оцінки (ймовірності помилки).
Якщо t-статистика > t-критичне, то нульова гіпотеза відкидається.

помилка, вона буває двох видів:

Істина

значень
порівняння рівності стандартних відхилень
тест-порівняння більш ніж двох вибірок

– ANOVA аналіз