STATISTICKÁ INDUKCE

statistika
konstanta náhodná veličina

PaA, ZS 2013/2014
průměrný bodový zisk z prvního zápočtového testu pro všechny studenty byl 12,06 bodů
výběry
n1=30;
n2=26;
n3=50;
n4=22;
n5=28;
n6=25;
n7=35;
........

Výběrová charakteristika – náhodná veličina s určitou variabilitou!

Populační parametr – konstanta!

μ =12,06

náhodný výběr
každý

výběrový soubor o rozsahu n má stejnou ppst výběru
(= každý prvek populace má stejnou ppst, že bude vybrán)

Způsoby výběru

kterou použiji k odhadu
konzistentní – s rostoucím počtem pozorování

se odhad blíží k hodnotě populačního parametru s pravděpodobností 1
nestranná – při opakovaných výběrech kolísá odhad tak, že v průměru se odhady z výběrů rovnají populační hodnotě, tj. střední hodnota výběrové statistiky se rovná odhadovanému populačnímu parametru, jde o nestranný odhad (E(T) = θ)
vydatná – rozptyl odhadů při opakovaných výběrech je malý
postačující – neexistuje další statistika, která by obsahovala o odhadované pop. charakteristice další informaci

odchylka výběr. průměru σ/√n
směrodatná chyba výběrového průměru
ukazatel variability výběrových průměrů
Bodový

odhad průměru

populačního rozptylu je výběrový rozptyl
odhad populační směrodatné odchylky

je pouze

asymptoticky nestranný
s rostoucím rozsahem souboru se vychýlení zmenšuje

předem zvolenou pravděpodobností obsahuje odhadovaný populační parametr Θ .

1-α .

. . spolehlivost odhadu (koeficient spolehlivosti)

α . . . hladina významnosti

P(T1 < Θ < T2) = 1 - α

mez
intervalu spolehlivosti
pravděpodobnost, s jakou interval (T1 , T2) pokrývá neznámou

hodnotu Θ

Oboustranný interval spolehlivosti

α = 0,05
α = 0,01

– α
pravostranný interval spolehlivosti

P(T1 < Θ < + ∞ )

= 1 – α
levostranný interval spolehlivosti

s normálním rozdělením N(μ,

σ2)

Δ . . . přípustná chyba odhadu

oboustranný interval spolehlivosti

výběrového souboru
Odhad při známém populačním rozptylu σ2

st. vol.

s…výběrová směrodatná odchylka

n…rozsah výběrového souboru
Odhad při neznámém populačním

rozptylu σ2

projíždějících automobilů. Pro 30 náhodně vybraných automobilů byla zjištěna rychlost

v km.

Odhadněte pomocí bodového i intervalového odhadu (α = =0,05), jaká je průměrná rychlost projíždějících vozidel.





bodový odhad průměrné rychlosti

Příklad

interval spolehlivosti pro μ:
(skutečnou průměrnou

rychlost)

tento interval s 95 % pravděpodobností pokrývá neznámou hodnotu populačního průměru

možné na 5% hladině významnosti odhadnout populační průměr s maximální

přípustnou chybou 1 km?

Příklad - pokračování

stanovení rozsahu výběru

σ2), parametr μ je neznámý
kritické hodnoty χ2 rozdělení s f

= n-1 stupni volnosti

jednotek s vlastností A v populaci
π
p
p . . . relativní

četnost jednotek
s vlastností A ve výběru

výběry s opakováním → binomické rozdělení
výběry bez opakování → hypergeometrické r.

velký výběrový soubor – aproximace normálním rozdělením

. . . výběrová relativní četnost
uα . . . kritická

hodnota normálního rozdělení pro hladinu významnosti α

interval spolehlivosti pro podíl leváků v populaci.

hodnoty, důležité zvláště u malých souborů
medián – robustní charakteristika

polohy

- výběrový medián
M – populační medián

Intervalový odhad populačního mediánu M

Předpoklad: spojitost znaku X

skupiny 15 náhodně vybraných osob byl zjišťován čistý měsíční příjem

(v tis. Kč), sestrojte
95% interval spolehlivosti pro populační medián.

15, 16, 19, 21, 21, 22, 23, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28

data uspořádaná od min po max
podle rozsahu výběru n se nalezne takové přirozené číslo k , pro které