Свойства линейных дискретных фильтров

и синтеза фильтров важным является вопрос об их устойчивости. В

Определение. Линейный дискретный фильтр называется устойчивым, если для любого ограниченного входящего сигнала , выходящий сигнал также ограничен .

Устойчивость ЛДФ

условием, накладываемым на его импульсную характеристику. Была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием устойчивости ЛДФ, является выполнение условия.

(1)

Здесь C - некоторая константа.

Теперь мы посмотрим на проблему устойчивости линейного фильтра с другой точки зрения. Для выяснения устойчивости ЛДФ мы обратимся к передаточной функции H(z).

достаточно, чтобы все полюсы zn передаточной функции H(z) лежали в

H1(z) первого фильтра. Полюсов три и все они находятся внутри

H2(z) второго фильтра. Полюсов тоже три, два из них z1,

описывался следующим разностным уравнением.

(2)
Надо выяснить, при каких

(3)

первого порядка . Согласно теореме 2, фильтр будет устойчив, если

(4)

это комплексная функция K(ω) действительного переменного ω, и определяется соотношением.

(5)

Здесь ω - это циклическая частота ω = 2πf, а Δt – шаг дискретизации. Таким образом, чтобы найти частотную характеристику фильтра, надо в переходной функции сделать замену.

(6)

- образом импульсной характеристики h(n) фильтра.

Поэтому передаточная

(7)

Заменяя в сумме (7) комплексную переменную z с помощью замены (6), получаем формулу для нахождения частотной характеристики фильтра.

ряда.

(8)
Если частотную характеристику фильтра рассматривать, как функцию

(9)

сигнала s(t) выбирается шаг дискретизации Δt , и дискретный сигнал

(10)

Затем спектр дискретного сигнала находят по формуле

(11)

Здесь F - частота Найквиста.

(12)

импульсную характеристику условие.

(13)
Используя это условие, нижний предел

(14)

ЛДФ, и формула (11) для спектра дискретного сигнала имеют одинаковую

(15)

Так как частотная характеристика является спектром дискретного сигнала, то все свойства спектра дискретного сигнала, применимы к частотной характеристики ЛДФ.

периодом 2F .

Кроме того, для вычисления частотной

(16)

называть импульсную характеристику, имеющую конечное число элементов отличных от нуля.

Другими словами, всегда существует такое число M , что для любого номера m большего M все элементы импульсной характеристики h(m) равны нулю.

Фильтры с конечной импульсной характеристикой будем называть КИХ - фильтрами (английский термин – finite impulse response, FIR).

число элементов отличных от нуля.

Другими словами, какое

На рисунках показаны импульсные характеристики КИХ и БИХ фильтров.

БИХ фильтрами
Напомним, что основное разностное уравнение ЛДФ, имеет вид.

(18)

(17)

не все коэффициенты an , фильтры разделяют на рекурсивные и

(19)

Нерекурсивный фильтр – это фильтр без обратных связей. Переходная функция нерекурсивного фильтра имеет вид.

(20)

импульсную характеристику называют так же реакцией системы на единичный импульс.

В результате получим импульсную характеристику.

(21)

(22)

просто, она равна коэффициентам bk основного разностного уравнения фильтра.

(23)

функцию нерекурсивного фильтра (20) перепишем в следующем виде.

(24)

это будет полюс второго порядка m = 2 .

точка лежит в комплексной плоскости в центре единичного круга |

Пример 2. Нерекурсивный фильтр описывается следующим разностным уравнением.

(25)

H(z) и частотную характеристику фильтра K(ω).
По формуле (23)

(26)

По формуле (24) находим переходную функцию.

(27)

характеристику.

(28)
Если хотя бы один коэффициент отличен от

Найти импульсную характеристику фильтра h(n), переходную функцию фильтра H(z) и

На рисунке показана структурная схема этого фильтра.

(30)

Поэтому воспользуемся полученными результатами.
Используя коэффициенты (30), по общей

(31)

находим переходную функцию рассматриваемого фильтра.

частотную характеристику.

(32)

, с помощью теоремы о вычетах

(34)

Формула (34) показывает, что полученная импульсная характеристика имеет бесконечное число отличных от нуля элементов, поэтому она является бесконечной импульсной характеристикой.
Таким образом, рассматриваемый рекурсивный фильтр является БИХ – фильтром.

(32) видно, что переходная функция H(z) имеет одну особую точку

Отсюда по теореме 2 следует, что рассматриваемый БИХ - фильтр неустойчив.

характеристику фильтра h(n), переходную функцию фильтра H(z) и частотную характеристику

(35)

Подставляя коэффициенты (35) в общее разностное уравнение ЛДФ (17) получаем.

(36)

туда коэффициенты (35) находим переходную функцию рассматриваемого фильтра.

(38)

(37)

Из соотношений (39) видно, что особая точка у функции

(40)

имеет полюс первого порядка в точке

(41)

Мы видим что, рассматриваемый рекурсивный фильтр имеет частотную характеристику, у которой отличен от нуля только один элемент. Поэтому частотная характеристика является конечной импульсной характеристикой.
Таким образом, рассматриваемый рекурсивный фильтр является КИХ – фильтром.

фильтры являются устойчивыми фильтрами. Значит, рассматриваемый рекурсивный фильтр является устойчивым

(42)

промежуточный итог, касающийся свойств рекурсивных и нерекурсивных ЛДФ

многих методов проектирования дискретных фильтров лежат методы проектирования аналоговых фильтров.

сигнал.
Комплексный коэффициент передачи фильтра является преобразованием Фурье импульсной характеристики.

(44)

Модуль и фазу комплексного коэффициента передачи называют амплитудно-частотной (АЧХ) и фазово-частотной (ФЧХ) характеристиками системы.

(45)

английский термин – low-pass filter), пропускающие частоты, меньшие некоторой частоты

пропускающие частоты, больше некоторой частоты среза ω0 .
На рисунке

частоты в некотором диапазоне

и шириной полосы пропускания.

На рисунке показана АЧХ идеального полосового фильтра.

другие названия таких фильтров – заграждающий фильтр, фильтр-пробка, полосно-задерживающий фильтр.

Лапласа импульсной характеристики h(t).

(46)
Здесь s - комплексное число.

В этом дифференциальном уравнении ai , bi - постоянные

определятся следующей формулой.

(48)
Комплексный коэффициент передачи фильтра и то

(49)

если мы знаем переходную функцию.
Разложив числитель

(50)

Здесь k = bm /an - коэффициент усиления, zi – нули функции передачи, pi - полюсы функции передачи. Поэтому для определения свойств аналогового фильтра вместо коэффициентов ai ,bi основного дифференциального уравнения, можно использовать нули и полюса zi , pi функции передачи.

частот. Передаточная функция H(s) определяется n полюсами, которые задаются формулой.

(51)

Здесь ω0 - некоторая заданная частота, называемая частотой среза. Полюсы (51) лежат в комплексной плоскости на окружности радиуса ω0 , потому что для них выполняется условие.

(52)

рисунке показано расположение полюсов для фильтра Баттерворта 5-го порядка в

полюсов следующим образом.

(53)
Здесь k0 - нормировочный множитель.

(54)

и ФЧХ фильтра Баттерворта n - го порядка. Простые, но

то АЧХ фильтра Баттерворта будет выражаться формулой.

(55)

частота среза взята раной единице ω0 = 1 .

Для простоты частота среза взята раной единице ω0 = 1

Для ФЧХ такой простой формулы как для АЧХ не существует. Поэтому надо брать формулу (54) и по ней находить ФЧХ.

рода является фильтром нижних частот. Передаточная функция этого фильтра не

(56)

Чебышева n - го порядка. Параметр ε определяет величину пульсаций

(57)

На рисунке показано расположение полюсов для фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка в комплексной s - плоскости. Уровень пульсаций в полосе пропускания взят 0.5 дБ. Для простоты частота среза взята раной единице ω0 = 1.

для фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка. Уровень пульсаций в