Тема 11.9. Інтервальні оцінки параметрів розподілу Задача про інтервальне

параметрів розподілу;
розподіл “хі-квадрат” і розподіл Стьюдента випадкової величини;
інтревальна оцінка математичного

сподівання нормально розподіленої випадкової величини;
інтервальні оцінки дисперсії і середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини.

параметрів розподілу є одне з можливих значень випадкової величини

, яка формується на основі
вибірки (спостережень над випадковою величиною Х).
Якщо обсяг вибірки досить великий, то точкова оцінка параметра розподілу  є досить близькою до його точного значення. Якщо ж обсяг вибірки невеликий, то між точковою оцінкою і точним значенням  параметра розподілу можуть бути значні розбіжності.

параметра , тобто про можливе відхилення точкової

оцінки від істинного значення параметра  або про оцінку абсолютної величини різниці .
Точкова оцінка параметра  є тим точнішою, чим менша величина різниці . Якщо б вдалося встановити, що , то число >0 характеризувало б точність точкової оцінки для параметра . Однак, статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що бо є випадкова величина. Можна лише говорити про ймовірність , з якою ця нерівність виконується.

розподілу  називають ймовірність  , з якою виконується нерівність

, тобто
(11.9.1)
На практиці надійність оцінки задається наперед, причому число  вибирають близьким до одиниці: =0,9; =0,99; =0,999.
Умову (11.9.1) перетворимо до рівносильного вигляду:
(11.9.1)

для якого виконується рівність (11.9.1),

називається надійним (довірчим) інтервалом, а його межі
і - надійними (довірчими) межами для параметра розподілу .
Іншими словами, надійний інтервал для параметра розподілу , є інтервал , який з ймовірністю  “накриває” точне значення цього параметра.
Зрозуміло, що завжди бажано, щоб для заданої близької до одиниці ймовірності  довжина надійного інтервала була, по можливості, найменшою. Однак, практично завжди є така альтернатива: збільшення надійності  приводить до збільшення надійного інтервалу і навпаки.

тому, що розв’язують рівняння (11.9.1) і визначають з нього число

 . А для цього потрібно обчислити ймовірність
. Останнє обчислення можна зробити, коли відомий закон розподілу точкової оцінки (статистики) або пов’язаної з нею іншої випадкової величини, бо при цьому можна використати відомі формули з теорії ймовірностей:
або
де F(x) – функція розподілу і f(x) –густина розподілу випадкової величини

поряд з розглянутими розподілами випадкових величин (пуассонівський, нормальний, показниковий) застосовуються ще розподіли “хі-квадрат” і Стьюдента, які найчастіше використовуються в математичній статистиці.

- незалежні і

нормально розподілені випадкові величини, причому їх математичні сподівання і середньоквадратичні відхилення для будь-якого i=1, 2,…, n. Розглянемо випадкову величину , що визначається рівністю

(11.9.2)

густиною

(11.9.3)

де An – деяка стала величина, що залежить від параметра
(точний вигляд An опустимо і використовувати її не будемо). Описаний закон розподілу, що характеризується густиною (11.9.3) в теорії ймовірностей і статистиці називають законом “хі-квадрат”. Розподіл “хі-квадрат” залежить від одного
параметра n і при наближається до нормального закону розподілу. Основні числові характеристики, які пов’язані з випадковою величиною “хі-квадрат” і мають практичне використання, є табульовані (див. “Додаток 5”).

пов’язаний з випадковою величиною наступного вигляду. Нехай Z – нормально

розподілена величина, причому M(Z)=0, (Z)=1, а V – незалежна від Z випадкова величина, яка розподілена за законом “хі-квадрат”. Тоді випадкова величина
(11.9.4)
розподілена за законом Стьюдента, який характеризується густиною:
(11.9.5)
де Bn – деяка стала величина, що залежить від параметра
(вигляд Bn опускаємо і використовувати її не будемо).

наближається до

нормального розподілу. Основні числові характеристики, що пов’язані з розподілом Стьюдента і мають практичне використання, є табульовані (див. “Додаток 6”).

величина Х нормально розподілена, тобто характеризується густиною

(11.9.6)

в якій параметри а і  можуть бути невідомі. При інтервальному оцінюванні математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини Х розглядають два випадки: а) коли середньоквадратичне відхилення  відоме; б) коли середньоквадратичне відхилення  невідоме.

М(Х)=а є подібною.
А. Середньоквадратичне відхилення  відоме. Нехай

спостереження над випадковою величиною Х (вибірка), на підставі якої необхідно знайти надійний інтервал для невідомого параметра а. Розглядаючи результати вибірки як незалежні однаково розподілені випадкові величини , запишемо випадкову величину

Оскільки величини однаково розподілені, тобто M(Xi)=M=const, то, використовуючи властивості математичного сподівання, одержимо:

має

такий же розподіл як величина Х, то

Далі, розглянемо випадкову величину
(11.9.7)

розподіл якої нормальний і

її значення Т=0, тобто існує таке число t>0, що –t

Тепер знайдемо таке число t, що

Оскільки
де - інтегральна функція Лапласа, яка має вигляд

(11.9.8)
Для знаходження t маємо рівняння
(11.9.9)
За таблицею значень функції знайдемо розв’язок
з рівняння (11.9.9).

випадкової величини
з ймовірністю  задовольняє нерівність

і її середньоквадратичне відхилення  відоме, то з надійністю 

її математичне сподівання М(Х)=а задовольняє нерівність
(11.9.10)

де - вибіркове середнє, n – обсяг вибірки,
- розв’язок рівняння (11.9.9), що
визначається за таблицею “Додатку 2”.
Іншими словами, інтервал “накриває” математичне сподівання М(Х)=а з надійністю , тобто є надійним інтервалом для математичного сподівання М(Х)=а.

оцінювання математичного сподівання M(X)=a випадкової величини Х (ознаки генеральної сукупності)

грунтується на тому, що випадкова величина
(11.9.11)

де - виправлене середньоквадратичне відхилення, має розподіл Стьюдента, що характеризується густиною (11.9.8). Аналогічно, як в випадку випадкової величини (11.9.7), надійний інтервал для математичного сподівання М(Х) визначається рівністю

де -

густина розподілу Стьюдента
Оскільки функція парна, то


і для обчислення t маємо рівняння
(11.9.12)

з якого знаходимо . Значення що визначаються рівнянням (11.9.12), знайдемо за таблицею.

випадкової величини (11.9.11) маємо рівність


з якої знаходимо, що

значення випадкової величини задовольняє нерівність

сукупності) розподілена за нормальним законом і її середньоквадратичне відхилення 

невідоме, то з надійністю  її математичне сподівання М(Х)=а задовольняє нерівність
(11.9.13)

де - вибіркове середнє,
- виправлене середньоквадратичне відхилення n – обсяг вибірки,
- розв’язок рівняння (11.9.12), який знаходимо за таблицею за даними значеннями n і .

ринкової і номінальної цін на акції на фондовому ринку нормально

розподілена і середньоквадратичне відхилення (Х)=1,9. Результати спостережень дали такі результати:
98,2; 100,2; 98,1; 96,2; 99,8; 101,2; 99,2; 104,1; 102,6; 103,8; 101,2; 99,4; 106,1; 102,6; 100,6; 98,8; 98,2; 101,1; 100,6; 99,8.
Оцінити невідоме математичне сподівання випадкової величини Х за допомогою довірчого інтервалу з надійністю  =0,95.

Х:

(98,2+100,2+98,1+96,2+99,8+101,2+99,2+104,1+
+102,6+103,8+101,2+99,4+106,1+102,6+100,6+98,8+98,2++101,1+100,6+99,8)= 2011,8=100,6.
За таблицею “Додатку 2” за даною надійністю =0,95 знаходимо розв’язок рівняння
і одержуємо, що . Далі, за формулою (11.9.10) маємо:


Отже, з надійністю 0,95 невідомий параметр а “накривається” довірчим інтервалом (99,7; 101,43).

Х з нормальним розподілом ймовірностей, причому середнє квадратичне відхилення =8

см. Скільки треба виконати спостережень, щоб знайти інтервал завширшки 6 см, який з ймовірністю 0,99 “накриває” невідоме математичне сподівання досліджуваної випадкової величини?

, де

, “накриває” невідоме математичне сподівання М(Х). Звідси випливає, що обсяг спостережень .
Оскільки 2=6  =3, =8 і , то


Отже, при даних в задачі умовах треба виконати 48 спостережень, щоб інтервал завширшки 6 см “накривав” математичне сподівання зросту навмання вибраної 15-ти річної дитини.

(в тис. грн.) характеризується таким інтервальним статистичним розподілом

Припускаючи, що випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, знайти інтервальну оцінку невідомого математичного сподівання М(Х)=а, з надійністю .

для інтервальної оцінки параметра а використаємо формулу (11.9.13). Для цього

обчислимо:
1. вибіркове середнє:


2.виправлене середньоквадратичне відхилення:

таблиці “Додатку 3” знаходимо
Тепер за формулою (11.9.13) маємо, що


 
Отже, на підставі одержаних вибіркових спостережень середній прибуток одного фермера “накриває” інтервал (6,94; 10,06) з ймовірністю 0,999.

випадкової величини.
Знайдемо тепер інтервальну оцінку для невідомих дисперсії і середнього

квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х. Оскільки дисперсія D(X)=D, середнє квадратичне відхилення (Х)= зв’язані співвідношенням D(X)=2(Х), то достатньо оцінити (Х). Для цього необхідно визначити число  з рівняння :

- виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення.
Маємо ланцюжок рівносильних нерівностей:

Приймемо

і одержимо нерівність:

Тепер достатньо знайти число q. Для цього введемо випадкову величину “хі-квадрат”, можливі значення якої
У випадку, коли 0

(11.9.14)

де R(t,n) – густина розподілу випадкової величини “хі-квадрат”. Очевидно


бо нерівності в дужках є рівносильні.

якого є табульовані

у таблиці “Додатку 4”, з якої їх визначаємо за даними значеннями n і .

нормально розподілена і q

відхилення  випадкової величини Х задовольняє нерівність
(11.9.17)
де - виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення,
- розв’язок рівняння (11.9.16), який за даними значеннями n і  знайдемо з таблиці “Додатку 4”.
Зауваження. Якщо q>1, то нерівність
випливає з нерівності .

знаходження q маємо рівняння

(11.9.18)

q>1, то з надійністю  середнє квадратичне відхилення  випадкової

величини Х задовольняє нерівність
(11.9.19)
де - виправлене вибіркове середнє квадратичне,
- розв’язок рівняння (11.9.18), який також можемо знайти за даними значеннями n і  з “Додатку 4”.

для нормально розподіленої величини Х – відсоткового відношення ринкової і

номінальної вартості цін на акції на фондовому ринку з надійністю  =0,95.
Розв’язання. Щоб знайти інтервальну оцінку для описаної випадкової величини Х, запишемо варіаційний ряд для варіант цієї величини та їх частоти:

обчислене в задачі 11.9.1. Обчислимо виправлене вибіркове середнє

квадратичне відхилення

i =0,95 знаходимо, що q=0,37. Довірчий інтервал для середньоквадратичного відхилення

визначається нерівністю:

Отже, середнє квадратичне відхилення відсоткового відношення ринкової і номінальної цін акцій на фондовому ринку за даними задачі 11.9.1 з ймовірністю 0,95 “накриває” інтервал (1,49; 3,25).

– прибутком фермерів (в тис. грн.), які наведені в задачі

11.9.3, знайти довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення з надійністю =0,999.
Розв’язання. В задачі 11.9.3 було обчислене виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення . За відомими значеннями n=30 і =0,999 з таблиці “Додатку 4” знаходимо
За формулою (11.9.17) маємо, що

Досить великий довірчий інтервал для  пояснюється вимогою високої надійності. Якщо, наприклад, надійність  =0,95, то

рази.
Приклад 11.9.6. За даними обласного статистичного управління урожайність цукрових буряків

в області розподіляється нормально. За вибіркою n=10 знайдено виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х – урожайності цукрових буряків з 1 га. Знайти інтервал довір’я, що “накриває” генеральне середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х в генеральній сукупності з надійністю =0,95.

4” знаходимо .

Оскільки , то для знаходження вказаного інтервалу довір’я використовуємо нерівність (11.9.19):

Отже, інтервал (0; 0,33) з надійністю =0,95 “накриває” середнє квадратичне відхилення урожайності цукрових буряків з 1 га в генеральній сукупності.