Тема: Интеграл. Определенный интеграл. Свойства. Примеры. Применение

нахождения длин, площадей и объемов».
Выполнила: Студентка 10 группы 1 курса Трухина Кристина

при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути

при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие

разобьем [a, b] точками a = x0 

[xi-1, xi ], ..., [xn-1, xn ];
2) в каждом из частичных отрезков [xi-1, xi ], i = 1, 2, ... n,  выберем произвольную точку   и вычислим значение функции в этой точке: f(zi);
3) найдем произведения f(zi) · Δxi, где  – длина частичного отрезка [xi-1, xi ], i = 1, 2, ... n;
4) составим интегральную сумму функции y = f(x) на отрезке [a, b]:

прямоугольников, основания которых – частичные отрезки [x0, x1], [x1, x2], ..., [xi-1, xi ],

..., [xn-1, xn ], а высоты равны f(z1), f(z2), ..., f(zn) соответственно (рис. 1). Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:

Понятие определенного интеграла

5) найдем предел интегральной суммы, когда λ → 0.

он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные

отрезки, ни от выбора точек zi в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a, b] и обозначается Таким образом,

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [a, b] называется промежутком интегрирования.

интегрируема на этом отрезке.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен

нулю:

Если a > b, то, по определению, полагаем

переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3.

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

среднем). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке

существует точка  , такая, что

Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы
Появившуюся константу   

целесообразно отделить от    и вынести за скобку.

затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный

ответ.

Пример 2
Вычислить определенный интеграл

Решение:

при этом все константы выносим – они не будут участвовать

в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

- параметрические уравнения гладкой кривой, то длина ее дуги равна , где и - производные функций
и соответственно, по параметру .
Существует аналогичная формула для длины дуги пространственной гладкой кривой:

непрерывной положительной на отрезке    функции

, осью     и прямыми    и    равен

перпендикулярными к оси    плоскостями, проходящими через точки

   и   то

Где    — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку     и перпендикулярна к оси