Тема: Моделирование в фактором анализе

которого создается модель (условный образ) объекта исследования. Сущность его заключается

в том, что взаимосвязь исследуемого показателя с факторным передается в форме конкретного математического уравнения.

В факторном анализе выделяют следующие наиболее часто встречающиеся типы факторных моделей:

аддитивная

мультипликативная

кратная

смешанная

алгебраическую сумму нескольких факторных показателей, например, показатель прибыли отчетного периода

в зависимости от направлений ее получения.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Y = T + S + E

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

T, S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели

включает в себя следующие шаги:
Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
Расчет значений сезонной компоненты S.
Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E).
Аналитическое выравнивание уровней (T + E) с использованием полученного уравнения тренда.
Расчет полученных по модели значений (T + E).
Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ

выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
Найдем скользящие

средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для

расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ

11.25
Корректирующий коэффициент: k=11.25/4 = 2.812
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты Si

и заносим полученные данные в таблицу.

каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E

= Y - S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
16a0 + 136a1 = 10874
136a0 + 1496a1 = 92743.67
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 0.93, a1 = 671.76
Среднее значения
y = 10874/16 = 679.63.

аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда.

Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 671.758 + 0.925t
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,16, найдем уровни T для каждого момента времени.

АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ

что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда.

временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной

компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:T = 671.758 + 0.925t
Получим
T17 = 671.758 + 0.925*17 = 687.492
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S1 = -292.354
Таким образом, F17 = T17 + S1 = 687.492 -292.354 = 395.137
T18 = 671.758 + 0.925*18 = 688.417
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S2 = -266.813
Таким образом, F18 = T18 + S2 = 688.417 -266.813 = 421.605
T19 = 671.758 + 0.925*19 = 689.343
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S3 = 268.604
Таким образом, F19 = T19 + S3 = 689.343 + 268.604 = 957.947
T20 = 671.758 + 0.925*20 = 690.268
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S4 = 290.563
Таким образом, F20 = T20 + S4 = 690.268 + 290.563 = 980.831

АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ

вид: Y = X1×X2×X3×…×Xn.
Примером мультипликативной модели является двухфакторная модель объема

валовой продукции (ВП): ВП = ЧР×ГВ, где ЧР – численность работников, ГВ – среднегодовая выработка одного работника.

Общий вид мультипликативной модели следующий:

Y = T x S x E

та модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

значений T, S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения

модели включает в себя следующие шаги.
Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
Расчет значений сезонной компоненты S.
Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T x E).
Аналитическое выравнивание уровней (T x E) с использованием полученного уравнения тренда.
Расчет полученных по модели значений (T x E).
Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

средней. Для этого:
Найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения

уже не содержат сезонной компоненты.
Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

ПРИМЕР. Построить мультипликативную модель временного ряда, характеризующую зависимость уровней ряда от времени.

деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Эти оценки

используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый период оценки сезонной компоненты Sj. Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

= 4.026
Корректирующий коэффициент: k=4/4.026 = 0.994
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты

Si и заносим полученные данные в таблицу.

значения сезонной компоненты. В результате получим величины T x E

= Y/S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
16a0 + 136a1 = 10872.41
136a0 + 1496a1 = 93531.1
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 3.28, a1 = 651.63
Среднее значения
{10872.41}/{16} = 679.53

проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного

тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 651.634 + 3.281t
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,16, найдем уровни T для каждого момента времени.

соответствующие значения сезонной компоненты.
Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по

формуле:
E = Y/(T * S) = 16
Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок:
Среднее значения
{10874}/{16} = 679.63

уровня временного ряда в мультипликативной модели есть сумма трендовой и

сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда: T = 651.634 + 3.281t
Получим
T17 = 651.634 + 3.281*17 = 707.416
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S1 = 0.578
Таким образом, F17 = T17 + S1 = 707.416 + 0.578 = 707.994
T18 = 651.634 + 3.281*18 = 710.698
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S2 = 0.613
Таким образом, F18 = T18 + S2 = 710.698 + 0.613 = 711.311
T19 = 651.634 + 3.281*19 = 713.979
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S3 = 1.39
Таким образом, F19 = T19 + S3 = 713.979 + 1.39 = 715.369
T20 = 651.634 + 3.281*20 = 717.26
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S4 = 1.419
Таким образом, F20 = T20 + S4 = 717.26 + 1.419 = 718.68
ПРИМЕР. На основе поквартальных данных построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 0,8 — I квартал, 1,2 — II квартал и 1,3 — III квартал. Определите значение сезонной компоненты за IV квартал.
Решение. Поскольку сезонные воздействия за период (4 квартала) взаимо погашаются, то имеем равенство: s1 + s2 + s3 + s4 = 4. Для наших данных: s4 = 4 - 0.8 - 1.2 - 1.3 = 0.7.
Ответ: Сезонная компонента за IV квартал равна 0.7.