Теорема Arrow коллективный выбор

С
1
1
1
A и С
1

1
1

Парное голосование:

Групповой выбор:

B

A

C

B

A

C

1-й избиратель

2-й избиратель

3-й избиратель

Худший кандидат

Лучший кандидат

Второй кандидат

Индивидуальные
МНЕНИЯ:

Проводим вторые тур со всеми сочетаниями ВЫШЕДШИХ в НИХ кандидатов:

С
1
1
1
A и С
1

1
1

Парное голосование:

Групповой выбор:

B

A

C

A

1-й избиратель

2-й избиратель

3-й избиратель

Худший кандидат

Лучший кандидат

Второй кандидат

Явного победителя нет!

владельцев двух профилей, предпочтительные кандидаты набирают равное число голосов все

агенты могут поставить конкурента x и y на последнее место, а агента z на второе -> в результате z должен победить но он хуже как x так и y для всех избирателей. Дальше может быть всё что угодно.

Правило Борда манипулируемо!!!

Считаем баллы по правилу Борда’

Чтобы продвинуть своего кандидата избиратели топят конкурента и победителем может стать третий кандидат z, худший х и у

владельцев двух профилей,

предпочтительные кандидаты набирают равное число голосов

все

агенты могут поставить конкурента x и y на последнее место, а

агента z на второе -> в результате z должен победить, но он хуже

как x так и y для всех избирателей. Дальше может быть всё что угодно...

Правило Борда манипулируемо!!!

не существует при р кандидатах и n выборщиках П (р,

n) возрастает по р,
и по числу выборщиков от n до n+2 – проверено для малых значений, но не доказано.
Если п достаточно велико при фиксированном р получена оценка

справедливая при р <= 50 с точностью до полпроцента

Пусть есть 3 кандидата и 3 избирателя.
Фиксируем предпочтения 1-го выборщика: a >b >c.

Парадокс возникает iff оставшиеся предпочтения таковы:
для 3 (2) – b >c > a,
для 2 (3) – c >a >b
т.е. вероятность того, что победителя по Кондорсе не существует

.

999 999 из 1млрд не достаточно).

999 999 из 1млрд не достаточно).


Система должна работать всегда (т.е.

нет плохих кандидатов или плохих избирателей).

Сравнение двух альтернатив не зависит от наличия-отсутствия ЛЮБОЙ Третьей альтернативы

Любые два кандидата сравнимы (и, даже, могут быть равны)

Пятая – самая слабая аксиома. Она ничего не требует по тем вопросам, по которым нет единогласия!!

И только в тех УНИКАЛЬНЫХ случаях, когда ПОЛНОЕ единогласие есть, 5я АКСИОМА требует согласится с ЕДИНОГЛАСНЫМ мнением Общества!!

- 2nd ed. New York: John Wiley, 1963. (1st ed.,

1951)

Теорема:
Пусть число альтернатив больше 2. Тогда функционал, удовлетворяющий условиям эффективности и независимости от посторонних альтернатив, является диктаторским.

всегда идёт от лучшего к ХУДШЕМУ)
Кандидат 1
(лучший)
i-й агент
Кандидат 2
Кандидат 3
Кандидат

4
(худший)

агент

ВСЕХ агентов
Профиль общества (Удовлетворяет АКСИОМАМ Эрроу)
1-й агент
i-й агент
N-й агент
Коллективный ПРОФИЛЬ

предпочтений

~ P) = V (z,t, ~ P), тогда из xPy

следует zPt.

Переставив местами пары (x,y) и (z,t), получаем, что на самом деле в этом случае наблюдается эквивалентность: xPy ⇔ zPt.

Множество агентов, предпочитающих x относительно y

Лемма о нейтральности: Если множество агентов предпочитающих x альтернативе y совпадает с множеством агентов предпочитающих z альтернативе t, то УДОВЛЕТВОРЯЮЩАЯ АКСИОМАМ К.Эрроу система примет одно и то же решение в обоих случаях.

случай

P индивидуальных предпочтений.Назовем альтернативу a экстремальной, если все избиратели считают

ее либо лучшей, либо худшей, то есть если ∀i
либо ∀b не= a, aPib,
либо ∀b не= a bPia.

Лемма 2 (об экстремальной альтернативе) Экстремальная альтернатива a и в коллективном предпочтении тоже займет либо первое, либо последнее место, то есть, если a экстремальна, то либо
∀b не= a aPb,
либо
∀b не= a bPa

– ЛУЧШИЙ или ХУДШИЙ (для всех избирателей)
?
?
?
?
?
?
По лемме об экстремальной

Альтернативе
а всегда будет СКРАЮ

Экстремальная альтернатива всегда с краю

Экстремальная альтернатива всегда с краю

– ЛУЧШИЙ или ХУДШИЙ (для всех избирателей)

?

?
?
По лемме об экстремальной

Альтернативе
а всегда будет СКРАЮ

Первый МОМЕНТ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ

Экстремальная альтернатива всегда с краю

?

?

Диктатором окажется (док-во далее) тот человек, чьи предпочтения изменили результат принятия решения
(пока в узких обстоятельствах и в отношении всего одной альтернативы)

?

случае и лучшей в последнем, а по лемме об экстремальной

альтернативе — или лучшей или худшей альтернативой во всех остальных случаях. Поэтому в какой-то момент a за один шаг из худшей альтернативы станет лучшей. (Возможно, потом она станет снова худшей, и потом снова лучшей, и т.д., но для нас важно лишь то, что существует момент, когда наша альтернатива из худшей становится лучшей.

Возьмём, например, и рассмотрим первый такой момент.) Случится это при смене предпочтений ровно одного участника. Обозначим его d. Приведенное рассуждение показывает, что d может навязать свое мнение всему коллективу, но пока что только по поводу конкретной экстремальной альтернативы и в конкретных обстоятельствах.

Наметим путь доказательства того, что для любых альтернатив b и c из b Pd c следует bPc. Итак, пусть b и c —произвольные альтернативыи b Pd c. Поскольку поусловию независимости от посторонних альтернатив решение относительно b и c не зависит от третьей альтернативы a, то достаточно предъявить профиль ~ P(1) с тем же самым множеством W = V (b,c; ~ P(1)) = V (b,c; ~ P), в котором bP(1)c — в этом случае мы заключим, что и bPc тоже. А именно, рассмотрим профиль ~ P(1), в котором для всех участников, кроме d альтернатива a экстремальна, и последние ранжируют ее также, как и при выборе диктатора. «Диктатор» же (то есть, пока что просто участник d) в профиле ~ P(1) считает a промежуточной альтернативой между b и c.

Для доказательства следует рассмотреть два вспомогательных профиля ~ P00 и ~ P0,отличающихся от P(1) только предпочтениями d, в первом из которых участник d считает a худшей альтернативой, а во втором — наоборот, лучшей. После этого рассуждение практически повторяет доказательство Леммы о нейтральности.

средний
(средний)
Выбираем среднюю температуру в комнате так, чтобы ровно 50% хотели

повысить 50% понизить.

Каждому выгодно сказать своё истинное мнение. Конкретное значение определит средний кандидат.

средний
(средний)

и коалиций
=R