ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ Поток вектора напряженности электростатического поля

поля

направление вектора Е, но и его модуль. Для этого линии

напряженности проводят с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную лини­ям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е.

поля напряженностью E.
Если напряженность Е перпендикулярна площадке, то число

линий, пронизывающих площадку dS, равно EdS.

линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль п к которой

образует угол α с вектором Е, равно ЕdScosα = EndS, где Еп — проекция вектора Е на нормаль п к площадке dS.
Величину
dФE = EndS = EdS
называют потоком вектора напряженности сквозь площадку dS.

Здесь dS = dSn - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали п к площадке. dS не является истинным вектором - это псевдовектор. Выбор направления вектора п (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону.

■ метр (В•м).
1 вольт•метр равен потоку напряженности сквозь поверхность

площадью 1 м2, перпендикулярную линиям напряженности поля напряженностью 1 В/м.

будут рассматриваться именно такие поверхности) поток вектора Е сквозь эту

поверхность

Часто в учебниках встречается запись

тем не мене подразумевается, что интеграл двойной , так как берется по переменной второго порядка, по площади. Кольцо на знаке интеграла означает, что интеграл берется по замкнутой поверхности S.

поля Е, но и от выбора направления п.
Для замкнутых

поверхностей за положительное направление нормали принимают внешнюю нормаль, т. е. нормаль, на­правленную наружу области, охватываемой поверхностью.

сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, пропорционален

заряду Q

Результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е, полей,

создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Поэтому

Докажем, что для замкнутой поверхности любой формы, заключающей в себе точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен

Каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен

Следовательно,

Формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:

поверхность пропорционален алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, коэффициент

пропорциональности: единица, деленная на электрическую постоянную ε0.

Эта теорема выведена для векторного поля любой природы русским математиком Михаилом Васильевичем Остроградским (1826), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю Карлом Фридрихом Гауссом (1839).

единицу объема, называется объемной плотностью заряда.

Суммарный заряд, заключенный внутри

замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

Используя этот результат, получим

и окончательно

Теорема Гаусса устанавливает точное соотношение между потоком вектора: напряженности электростатического поля сквозь замкнутую поверхность и суммарным зарядом, заключенным внутри этой поверхности.
Применяя теорему Гаусса, во многих случаях можно рассчитать электростатическое поле, проще, чем применяя принципа суперпозиции.

Поверхностная плотность заряда
Скалярная физическая величина, характеризующая плоскость с распределенным на

ней зарядом, называется поверхностной плотностью заряда

Рассмотрим бесконечную плоскость, равномерно заряженную с поверхностной плотностью σ.
В силу симметрии вектор Е по обе стороны плоскости перпендикулярен ей и постоянен. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим небольшой замкнутый цилиндр c площадью основания S. Ось цилиндра перпендикулярна плоскости

Образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. Еп совпадает с Е. Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания Еп совпадает с Е. Площади оснований равны. Полный поток, считая обе стороны плоскости, равен 2ES

формулы следует, что поле равномерно заряженной плос­кости однородно.
Эта формула справедлива

только для малых (по сравнению с размерами плоскости) расстояний от плоскости, так как только тогда плоскость можно считать бесконечной.
Потенциал и напряженность электростатического поля связаны между собой соотношением

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х1 и х2 от плоскости, равна

заряженных плоскостей
Рассмотрим две бесконечные параллельные плоскости, заряженные разноименными зарядами с

поверхностными плотностями +σ и -σ.Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

,

Результирующая напряженность

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями равна удвоенной напряженности единичной плоскости, а вне объема, ограниченного плоскостями, напряженность поля равна нулю

Верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние - от отрицательно заряженной.
Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля Е= 0.
В области между плоскостями
Е = Е+ + Е-

железных опилок (опыты, известные из школьного курса). За пределами пластин

поле отсутствует, оно сосредоточено между пластинами.

Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d равна

сферическую поверхность радиусом R заряженную зарядом Q, равномерно с поверхностной

плотностью +σ.

Благодаря равномерному распределению заряда поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально.
Мысленно построим сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Напряженность является функцией расстояния r от центра сферы. Она одинакова во всех точках, равноудаленных от ее поверхности.
Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле. По теореме Гаусса,

содержит внутри зарядов.
Внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле

отсутствует (Е = 0).

Таким образом, при r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда, а при r < R поле внутри заряженной сферы отсутствует.

r2 от центра сферы
при условии r > R
если r1=r, а

r2 лежит в бесконечности, то

Внутри сферы заряд отсутствует, напряженность нулевая, значит потенциал постоянен и равен значению на поверхности сферы

R (общий заряд Q), заряженный с объемной плотностью ρ. Построим

вспомогательную сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряженным шаром.
Электростатическое заряженного шара имеет центральную симметрию (центр шара - центр симметрии поля). Напряженность одинакова во всех точках вспомогательной сферы радиусом r.
Если r > R, то внутрь вспомогательной сферы поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса,

откуда

при условии

Таким образом, напряженность поля вне объемно-заряженного шара такая же, как и вне заряженной сферической поверхности, что можно было и ожидать исходя из соображений симметрии.

< R охватывает заряд
, где
Подставив эти условия в теорему

Гаусса получим

Учитывая

Получим

Напряженность поля внутри шара изменяется линейно с расстоянием r

от того как эти расстояния соотносятся с радиусом шара R.

при R < r1 < r2

при r1 < r2

бесконечный цилиндр радиусом R, равномерно заряженный с линейной плотностью τ.
Линейная

плотность заряда

- скалярная физическая величина, определяемая зарядом, приходящимся на единицу длины.

Линии напряженности будут направлены с одинаковой густотой вдоль радиальных прямых, перпендикулярных оси цилиндра. Напряженность Е может зависеть только от расстояния r от оси цилиндра.
В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный цилиндр радиусом r и высотой l.

Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2πrlE.

, при r > R

По теореме Гаусса

содержит, поэтому в этой области Е = 0.
Напряженность поля вне

равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением


внутри цилиндра поле отсутствует.


Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1, и r2, от оси заряженного цилиндра (r2> r1 > R),