Разделы презентаций


Теорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к ЕГЭ)

СодержаниеТеоретические факты: а) пропорциональные отрезки в треугольниках б) отношение площадей треугольников.Теорема Менелая.Применение теоремы для решения задач.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к

ЕГЭ)

Теорема Менелая и ее применение при решении задач  (подготовка к ЕГЭ)

Слайд 2Содержание


Теоретические факты:
а) пропорциональные отрезки в треугольниках
б)

отношение площадей треугольников.
Теорема Менелая.
Применение теоремы для решения задач.

СодержаниеТеоретические факты: а)  пропорциональные отрезки в треугольниках б)  отношение площадей треугольников.Теорема Менелая.Применение теоремы для решения

Слайд 3Теоретические факты
Теорема Фалеса
Параллельные прямые пересекая стороны

угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Теоремы об отношении площадей треугольников

1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углы

Теоретические фактыТеорема Фалеса    Параллельные прямые пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.Теоремы об

Слайд 4Теоремы об отношении площадей треугольников
2. Пусть ∆АВС и ∆АВD имеют

общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот,

проведенных из вершин С и D.







S(∆АВС) : S(АВD) = СР:DQ.

3.Отношение площадей треугольников,
имеющих равные высоты равно
отношению оснований:








S(∆АВС) : S(АВD) =AC:АD.

А

В

С

D

P

Q

А

В

С

D

P

Теоремы об отношении площадей треугольников2. Пусть ∆АВС и ∆АВD имеют общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей

Слайд 5Задача.(Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2014.ЗадачаС4.№6.3) На стороне ВС треугольника

АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены

точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN.

Решение
Проведем ВР параллельно КМ.
По теореме Фалеса для угла NАК:


По теореме Фалеса для угла ВСР:


4. Итак, z=4d, тогда АN=6z=24d, значит СN:АN=5:24.
Ответ: 5:24


А

С

В

М

К

N



у


Р

5z

z

N

4x

5d

4d

Задача.(Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2014.ЗадачаС4.№6.3)       На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ

Слайд 6 Предложенный вариант решения задачи – один из традиционных,

без применения теоремы Менелая.
Рассмотрим другой (более рациональный) способ

решения, применяя указанную теорему
Теорема Менелая
Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ∆ABC взяты соответственно точки С´, А´ и В´, не совпадающие с вершинами ∆ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Для дальнейшего решения задач воспользуемся необходимым условием данной теоремы.


Предложенный вариант решения задачи – один из традиционных, без применения теоремы Менелая.  Рассмотрим другой

Слайд 7Теорема Менелая
Если на сторонах ВС, АВ и продолжении

стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки

А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то



В

А

С

В´

А´

С´

Теорема Менелая  Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С

Слайд 8Доказательство








Проведем СК //АВ, тогда ∆СКВ´ ~ ∆ АС´В´, поэтому



СК =
2.

∆ СКА´ ~ ∆ВС´А´, поэтому

3. Подставляя СК из п.1, имеем

В

А

С

В´

К

А´

С´

Доказательство Проведем СК //АВ, тогда ∆СКВ´ ~ ∆ АС´В´, поэтому      СК =

Слайд 9 Задача.(Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2014.ЗадачаС4.№6.3) На

стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за

вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN.










Стрелки на рисунке (от точки А) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции.

Найдем








Ответ:







А

С

В

N

M

K



у


Задача.(Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2014.ЗадачаС4.№6.3)       На стороне ВС треугольника АВС и

Слайд 10





Найти:

Ответ:
Задача. (Р.К.Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. ЗадачаС4. №6.10) В

треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В каком отношении центр вписанной

окружности треугольника делит биссектрису СD?

Решение:
Для треугольника ВСD и секущей АК:



Найдем ДА: =
ДА =

3. Найдем :

В

С

А

К

D

О

Найти: Ответ: Задача. (Р.К.Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. ЗадачаС4. №6.10)  В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В

Слайд 11


Задача. (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. Задача С4.

№6.14) В ∆АВС, площадь которого равна 6, на стороне

АВ взята т.К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК=2:3, а на стороне АС взята т. L, делящая АС в отношенииAL:LС=5:3. Точка Q пересечения прямых СК и ВL отстоит от прямой АВ на расстояние 1,5. Найти сторону АВ.

Решение:
Для тр. АСК и секущей ВL найдем отношение CQ:QK.


2. Проведем высоту СР. СР// QH.
3. По теореме Фалеса Н – середина РК, тогда QH-средняя линия СРК, значит СР=3.
4. S (АВС) =0,5 АВ•СР, тогда АВ=2S(АВС) :СР=4.

Ответ: АВ = 4.

L

Q

H

Задача. (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. Задача С4. №6.14)   В ∆АВС, площадь которого равна

Слайд 12Задача.( Математика ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией

А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 28. С4) На сторонах АВ, ВС и

АС ∆АВС взяты соответственно точки К, L и М, причем АК:КВ=2:3, ВL:LС=1:2, СМ:МА=3:1. В каком отношении отрезок КL делит отрезок ВМ?









Найти


Ответ:

Решение:
Для ∆АВС и секущей КL:


2. АР = РС = АС = 4z =2z, значит

=

3. Для ∆АВМ и секущей КL:

М

К

L



у


3z

z

О

Р

2z

Задача.( Математика ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 28. С4)  На

Слайд 13Задача. (Сайт А.А.Ларина. Тренировочный вариант №67. от 09.03.2014. С4) В

∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки

АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. а) доказать, что , где М = АЕ ∩ СD, К = СD ∩ ВF, N = АЕ∩ВF. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK.

а) докажем, что

Для ∆АВF и секущей DC:





2. Для ∆АЕС и секущей FВ:




3. Для ∆DBC и секущей ЕА аналогично

х


у


Задача. (Сайт А.А.Ларина. Тренировочный вариант №67. от 09.03.2014. С4)  В ∆АВС на сторонах АВ, ВС, и

Слайд 14Задача. (Сайт А.А.Ларина. Тренировочный вариант №67. от 09.03.2014. С4) В

∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки

АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK.

б) Итак,




Тогда


Ответ:

А

В

С

D

E

F

М

N

K

М

К

Задача. (Сайт А.А.Ларина. Тренировочный вариант №67. от 09.03.2014. С4)  В ∆АВС на сторонах АВ, ВС, и

Слайд 15Заключение Решение задач с помощью теоремы Менелая более рационально,

чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений,

которые не всегда оказываются очевидными. Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Используемая литература
ЕГЭ 2014.Математика. Задача С4. Гордин Р.К. Под ред. Семенова А.Л.2013г.
Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.
http://alexlarin.net/ege/2014/trvar67.html

Заключение  Решение задач с помощью теоремы  Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика