Теорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к ЕГЭ)

ЕГЭ)

отношение площадей треугольников.
Теорема Менелая.
Применение теоремы для решения задач.

угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Теоремы об отношении площадей треугольников

1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углы

общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот,

проведенных из вершин С и D.







S(∆АВС) : S(АВD) = СР:DQ.

3.Отношение площадей треугольников,
имеющих равные высоты равно
отношению оснований:








S(∆АВС) : S(АВD) =AC:АD.

А

В

С

D

P

Q

А

В

С

D

P

АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены

точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN.

Решение
Проведем ВР параллельно КМ.
По теореме Фалеса для угла NАК:


По теореме Фалеса для угла ВСР:


4. Итак, z=4d, тогда АN=6z=24d, значит СN:АN=5:24.
Ответ: 5:24

А

С

В

М

К

N

4х

5х

у

5у

Р

5z

z

N

4x

5d

4d

без применения теоремы Менелая.
Рассмотрим другой (более рациональный) способ

решения, применяя указанную теорему
Теорема Менелая
Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ∆ABC взяты соответственно точки С´, А´ и В´, не совпадающие с вершинами ∆ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Для дальнейшего решения задач воспользуемся необходимым условием данной теоремы.

стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки

А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то

В

А

С

В´

А´

С´

СК =
2.

∆ СКА´ ~ ∆ВС´А´, поэтому

3. Подставляя СК из п.1, имеем

В

А

С

В´

К

А´

С´

стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за

вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN.

Стрелки на рисунке (от точки А) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции.

Найдем








Ответ:

А

С

В

N

M

K

4х

5х

у

5у

треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В каком отношении центр вписанной

окружности треугольника делит биссектрису СD?

Решение:
Для треугольника ВСD и секущей АК:



Найдем ДА: =
ДА =

3. Найдем :

В

С

А

К

D

О

№6.14) В ∆АВС, площадь которого равна 6, на стороне

АВ взята т.К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК=2:3, а на стороне АС взята т. L, делящая АС в отношенииAL:LС=5:3. Точка Q пересечения прямых СК и ВL отстоит от прямой АВ на расстояние 1,5. Найти сторону АВ.

Решение:
Для тр. АСК и секущей ВL найдем отношение CQ:QK.


2. Проведем высоту СР. СР// QH.
3. По теореме Фалеса Н – середина РК, тогда QH-средняя линия СРК, значит СР=3.
4. S (АВС) =0,5 АВ•СР, тогда АВ=2S(АВС) :СР=4.

Ответ: АВ = 4.

L

Q

H

А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 28. С4) На сторонах АВ, ВС и

АС ∆АВС взяты соответственно точки К, L и М, причем АК:КВ=2:3, ВL:LС=1:2, СМ:МА=3:1. В каком отношении отрезок КL делит отрезок ВМ?

Найти


Ответ:

Решение:
Для ∆АВС и секущей КL:


2. АР = РС = АС = 4z =2z, значит

=

3. Для ∆АВМ и секущей КL:

М

К

L

2х

3х

у

2у

3z

z

О

Р

2z

∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки

АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. а) доказать, что , где М = АЕ ∩ СD, К = СD ∩ ВF, N = АЕ∩ВF. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK.

а) докажем, что

Для ∆АВF и секущей DC:





2. Для ∆АЕС и секущей FВ:




3. Для ∆DBC и секущей ЕА аналогично

х

2х

у

2у

∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки

АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK.

б) Итак,




Тогда


Ответ:

А

В

С

D

E

F

М

N

K

М

К

чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений,

которые не всегда оказываются очевидными. Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Используемая литература
ЕГЭ 2014.Математика. Задача С4. Гордин Р.К. Под ред. Семенова А.Л.2013г.
Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.
http://alexlarin.net/ege/2014/trvar67.html