Теорема о движении центра масс

механики
ЛЕКЦИЯ 4.
ТЕОРЕМЫ О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС И ОБ ИЗМЕНЕНИИ

КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

масс
Количество движения (импульс) системы
Импульс силы
Теорема об изменении

количества движения (импульса)
Рекомендации к решению задач
Примеры применения теорем
Заключение

План лекции

основными ее характеристиками: массой, центром масс, моментом инерции относительно оси

-

Определили меры движения:
центр масс, количество движения (импульс), момент количества движения (момент импульса), кинетическую энергию

движения

Цель лекции

(импульс) системы
3 – момент количества движения
(момент

импульса) системы

4 – кинетическая энергия системы

Введение

НАПОМНИМ: МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ

(мер движения) - центра масс, количества движения, момента количества движения,

кинетической энергии
Поведение же этих характеристик будет определяться теоремами об их изменении со временем.
На этой лекции мы изучим первые две теоремы:
Теорему о движении центра масс
Теорему об изменении количества движения

Введение

Введение

(1000-6000). У нас нет возможности проследить за полетом каждой из

пчел. Однако, чтобы ответить на вопрос: “куда полетели пчелы? ”, лучшей точки, чем центр масс этого роя не найти!

Суммируем левые и правые части уравнений

(1)

- по свойству внутренних сил

(2)

Теорема о движении центра масс

равно сумме всех действующих на систему внешних сил
Подставляя в (2),

получим теорему о движении центра масс

Теорема о движении центра масс

как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и

к которой приложены все внешние силы, действующие на систему

При движении твердого тела теорема полностью определяет поступательную часть движения вместе с центром масс С. Вращательную часть движения вокруг С нам определит теорема об изменении момента количества движения (следующая лекция).

Теорема позволяет при определении движения центра масс любой механической системы исключить наперед неизвестные внутренние силы

Теорема о движении центра масс

следствия:



1. Пусть сумма внешних сил равна нулю
Если сумма внешних сил,

действующих на механическую систему равна нулю, то ее центр масс движется равномерно прямолинейно.
В частности, если в начальный момент центр масс был в покое, то он и останется в покое.

Тогда из уравнения

следует

Законы сохранения движения центра масс

нулю
Если сумма проекций всех действующих внешних сил на ось равна

нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось не меняется
В частности, если в начальный момент скорость центра масс системы вдоль оси равна нулю, то центр масс системы вдоль этой оси перемещаться не будет

Тогда

Следствие. Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение его центра масс (она может только вызвать вращение тела вокруг центра масс).

Законы сохранения движения центра масс

подошвами обуви и Землей – внутренняя. Поэтому центр масс системы

“человек + Земля” должен остаться в покое.

2. Откат орудия при выстреле. Механическая система: орудие и снаряд. Если снаряд вылетает вперед, то орудие, если оно не закреплено, откатывается назад.

3. Вращающиеся тела со смещенным центром масс. Вращающиеся части конструкций обычно “центруют” так, чтобы, в частности, их центры масс находились на оси вращения.

Примеры

другой человек сможет?
6. Прыжок с вышки в бассейн “солдатиком”
7. То

же самое, только с гирей в руках

Примеры (продолжение)

оси А
Определить закон движения мотора и его давление N на

подставку

Н.У:

Задача 1

система: мотор + вал
Внешние силы:




- теорема


Задача (продолжение)

уравнения




Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания







- мотор подпрыгивает
статическое + динамическое

давление

Задача (продолжение)

- мотор подпрыгивает

Понятно, почему вибрируют стиральные машины!

количеств движения всех ее точек



Единицей измерения в СИ является

1 кг*м/с

- количество движения k-ой точки

(4)

Количество движения (импульс) системы

системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс.
Другими

словами, количество движения всей системы
равно количеству движения ее центра масс, если в ней сосредоточить всю массу системы

Количество движения (импульс) системы

С) и вращательного (вокруг С).
Из (5) следует, что при

вращательном движении вокруг C количество движения равно нулю.
Следовательно, количество движения системы характеризует ее поступательное движение вместе с центом масс

(6)

Проекции количества движения системы

времени, вводится понятие импульса силы




(7)
- элементарный импульс силы

- импульс силы

(8)

Единицей измерения в СИ является 1 кг*м/с

Импульс силы

получим

(9)
Теорема об изменении количества движения (импульса) системы

вектору действующих на нее внешних сил



Теорема чаще используется в интегральной

форме

- дифференциальная форма

(9)

(10)

Изменение импульса за промежуток времени равно сумме импульсов действующих на нее внешних сил за тот же промежуток

Теорема об изменении количества движения (импульса) системы

системы

- механическую систему выбирают так, чтобы наперед неизвестные силы сделать

внутренними

(11)

Теорема об изменении количества движения в проекциях

силы, а импульсы сил
Например, изменение проекции импульса системы на ось

x

за время

полностью определяется площадью

заштрихованной фигуры,

.

и не зависит от вида кривой

действующих на механическую систему равна нулю, то вектор количества движения

сохраняется во все время движения

Тогда из уравнения

следует

Если за некоторый промежуток времени сумма импульсов внешних сил равна нулю

(12)

Закон сохранения количества движения

нулю
Если сумма проекций всех действующих на систему внешних сил на

ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось сохраняется во времени

Тогда из уравнения

следует

Если равна нулю проекция суммы импульсов внешних сил за промежуток времени

Закон сохранения количества движения

связей)
Записать одну из общих теорем динамики(или несколько)
Проинтегрировать полученную систему уравнений.

Постоянные интегрирования определяются при этом из дополнительных (начальных) условий задачи
Определить искомые величины

Рекомендации к решению задач на применение общих теорем динамики

Пуля весом P, летящая горизонтально со скоростью u,

попадает в тележку с песком веса Q и застревает в ней. С какой скоростью будет двигаться тележка? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1. Механическая система: пуля + тележка
2. Внешние силы, действующие на систему P,Q,N,R.
3. Запишем теорему об изменении количества движения системы в проекции на горизонтальную ось x.

Однородный стержень AB длиной 2L, опирающийся нижним концом A на

гладкую горизонтальную плоскость, начинает падать из состояния покоя, образуя при t=0 угол с плоскостью. Определить траекторию верхнего конца B стержня.

Решение. 1. М.с. – стержень AB; 2. Внешние силы N, mg;
3. Теор. о дв. центра масс:

Траектория т. B – эллипс;

поднимается по наклонной плоскости с углом наклона имея

начальную скорость . Определить время подъема на максимальную высоту, если коэффициент трения о плоскость равен f.

Задача 4

Решение. По теореме об изменении кол-ва движения в проекции на ось x:

Имеем:

Силу трения определим из второго закона Ньютона в проекции на ось y:

Следовательно,

импульса имеем:




Возьмем в качестве М.С. – объем жидкости

abcd (в момент t). В момент t+ он займет положение

горючим на время t:

случаи - законы сохранения движения центра масс
2. Определено понятие импульса

силы
3. Изучена теорема об изменении количества движения (импульса) и ее частные случаи – законы сохранения импульса
4. Даны рекомендации к решению задач на применение общих теорем динамики
5. Рассмотрены примеры решения задач с использованием этих рекомендаций

Заключение

описывается движение центра масс?
2. Почему внутренние силы, действующие на систему,

не влияют на движение ее центра масс?
3. В каком случае центр масс системы остается в покое?
4. Когда центр масс системы движется в направлении некоторой оси равномерно?
5. Почему человек не может сам себя поднять за волосы? А почему может присесть и какое при этом его давление на пол?
6. Какое действие на твердое тело оказывает приложенная к нему пара сил?
7. Как определяется импульс силы за конечный промежуток времени?
8. Как определяется количество движения системы?
9. Сформулируйте теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной и интегральной формах.

условиях количество движения системы не изменяется?
11. При каких условиях не

меняется проекция количества движения на данную ось?
12. Можно ли за счет внутренних усилий изменить количество движения системы?
13. Почему происходит откат орудия при выстреле?
14. Перечислите основные этапы решения задач на применение теоремы о движении центра масс или теоремы об изменении импульса системы.
15. Почему решение задач следует начинать с выбора механической системы?
16. В каких системах координат справедливы теоремы о движении центра масс и об изменении импульса системы?