Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

на отрезке функции
О промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции
О непрерывности

функции, обратной к непрерывной строго монотонной функции.
Непрерывность элементарных функций.

на концах отрезка значения разных знаков, то найдется хотя бы

одна точка ξ∈(a, b), такая что f(ξ) = 0.

y = f(x)

a

x

y

b

f(a)

f(b)

ξ

0

> 0.
Разобьем отрезок [a, b] пополам.
Если f((a+ b)/2)=

0 , то (a+ b)/2 = ξ и теорема доказана.
Если f((a+ b)/2) ≠ 0, то обозначим [a1 , b1] ту половину отрезка [a, b] ,
для которой f(a1) < 0, f(b1) > 0.
Разобьем отрезок [a1 , b1] пополам.
Если f((a1+ b1)/2)= 0 , то (a1+ b1)/2 = ξ и теорема доказана.
Если f((a1+ b1)/2) ≠ 0 , то обозначим [a2 , b2] ту половину отрезка [a1 , b1],
для которой f(a2) < 0, f(b2) > 0.
И так далее…

a

b

(a+ b)/2

x

a1

b1

(a1+ b1)/2

a2

b2

ξ∈(a, b), такая что f(ξ)= 0; тогда справедливо утверждение теоремы;

либо существует система вложенных отрезков [an , bn], по длине стремящихся к нулю (так как bn - an = (b – a)/2n → 0 при n → ∞),
таких что f(an) <0, f(bn)>0 ∀n ∈ N.
Согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам системы, причем

Так как f(an) < 0, f(bn) > 0 ∀n ∈ N, то


В силу непрерывности функции


Следовательно, справедливо утверждение теоремы.

f(b)=B, причем А ≠Β, то для любого числа К,
лежащего между

А и В, найдется точка ξ∈[a,b], такая что f(ξ) = К.







Доказательство.
Пусть А < Β. Если К=А, то утверждение верно для ξ = а;
если К=В, то утверждение верно для ξ = b.
Пусть А < К < Β. Рассмотрим функцию ϕ (х) = f(x) - K.
Эта функция непрерывна на [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда, по теореме о нулях непрерывной функции, найдется точка ξ∈(a, b), такая что ϕ (ξ) = 0, т.е. f(ξ) = К.

a

b

A

B

K

ξ

x

y

0

y = f(x)

[a, b] , является отрезок [m, M], где

a
b
m
M
x
y
0
y = f(x)

функции.
Понятия обратной функции и монотонной функции были введены в лекции

1.1. теперь сформулируем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.
ТЕОРЕМА.
Если функция y = f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [a, b] , то на отрезке [f(a), f(b)] определена функция x = g(y), обратная к f(x), непрерывная и строго возрастающая (убывающая).

ПРИМЕР.

x

y

y = x

0

π/2

π/2

- π/2

- π/2

1

1

- 1

- 1

y = sinx, х∈[- π/2, π/2]

y = arcsinx, х∈[- 1, 1]

anxn +…+a1x+a0 , an≠ 0
является непрерывной на R

функцией.

Доказательство.
Функция у = С = const – непрерывна на R, так как здесь приращение
функции Δу = С – С = 0 при ∀х.
Функция у = х – непрерывна на R, так как здесь Δу = Δх → 0 при Δх →0.
Поэтому функция у =akхk , где k ∈ N, непрерывна на R как произведение
непрерывных функций.
Так как многочлен Pn(x) есть сумма непрерывных функций вида akхk ,
то он непрерывен на R.

многочлен степени n,
Qm(x) – многочлен степени m,
непрерывна во

всех точках, в которых ее знаменатель
не обращается в ноль.

Доказательство.
Если Qm(x) ≠ 0, то из непрерывности многочленов Pn(x) и
Qm(x) следует непрерывность функции f(x) в точке х, как
частного непрерывных функций.

cosx непрерывны на R.

Доказательство.
Пусть х – произвольная точка числовой

оси.
Рассмотрим приращение функции при переходе от х к x + Δх :
Δу = sin(x+Δх) - sinx = 2 sin(Δх/2)cos(x+Δх/2).
Так как ⎢sin(Δх/2)⎢≤ ⎢ Δх/2 ⎢, а ⎢cos(x+Δх/2)⎢≤ 1, то
⎜Δу⎜≤ ⎜Δх ⎜
и Δу→0 при Δх→0 , т.е. у = sinx – непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается непрерывность косинуса:
Δу = cos(x+Δх) - cosx = - 2 sin(x + Δх/2)sin(Δх/2);
⎜Δу⎜≤ ⎜Δх ⎜
и Δу→0 при Δх→0 , т.е. у = cosx – непрерывна в точке х.

= ctgx непрерывна, если х ≠ πn.
Доказательство.
Из непрерывности синуса и

косинуса следует, что функция

непрерывна, если cosx ≠ 0, то есть х ≠ π/2+πn;

непрерывна, если sinx ≠ 0, то есть х ≠ πn.

Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, y = arccosx,
y = arctgx, y = arcctgx непрерывны в своей области определения.
Доказательство.
у = arcsinx , х∈[-1,1] – обратная к у = sinx , х∈[-π/2,π/2]
y = arccosx, х∈[-1,1] – обратная к y = cosx, х∈[0,π]
y = arctgx, х∈R - обратная к y = tgx , х∈(-π/2,π/2)
y = arcctgx, х∈R - обратная к y = ctgx , х∈(0,π)
Эти функции непрерывны в своей области определения как обратные к непрерывным функциям.

а < 1 или а >1, непрерывна на R.

Доказательство.
При доказательстве

сформулированного утверждения мы воспользуемся неравенством, справедливым для показательной функции :
⎢ах -1⎢< С(а)⋅⎜х ⎜ при х→0.

Пусть х – произвольная точка числовой оси. Рассмотрим приращение функции при переходе от х к x + Δх :
Δу = ах+Δх – ах = ах⋅ (аΔх – 1).

⎜Δу⎜< ах⋅С(а)⋅⎜Δх ⎜ при Δх → 0.

Отсюда и Δу → 0 при Δх → 0, т.е. у = ах – непрерывна в точке х.

Используя неравенство,

имеем оценку:

1 или а >1, непрерывна на полуоси х > 0.

Доказательство.

Логарифмическая функция y = logax непрерывна в своей области
определения как обратная к непрерывной функции у = ах.

у = ах

y = logax

x

y

1

1

0

y = x

косинус, непрерывен на R.

– гиперболический тангенс, непрерывен на R.

– гиперболический

котангенс,
непрерывен на R, кроме точки х = 0.

определенная для всех х > 0, непрерывна при всех х

> 0.


Доказательство.
Из определения логарифма имеем
х = elnx,
следовательно
у = хα= eαlnx,
т.е. степенная функция – композиция показательной и логарифмической
функции, умноженной на константу.
Показательная и логарифмическая функции непрерывны при х > 0,
следовательно, степенная функция также непрерывна, по теореме о
непрерывности сложной функции.

так как при х ≤ 0 выражение хα имеет смысл

не для всех α в области действительных чисел. Однако, если α – рационально и выражение хα имеет смысл при х < 0, то функция у = хα при α > 0 будет непрерывна на всей числовой прямой, а при α < 0 – на всей действительной оси, кроме точки х = 0.

ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ.

Пусть функции u(x) и v(x) определены на промежутке (a, b),
причем u(x) > 0 на (a, b). Тогда функцию, определяемую формулой
y = (u(x))v(x) = e v(x) ln u(x) ,
называют показательно-степенной.

Если функции u(x) и v(x) непрерывны на промежутке (a, b),
то функция (u(x))v(x) непрерывна на (a, b) как суперпозиция
непрерывных функций et и t = v(x) ln u(x).

функций,
тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций,
а также функций,

получающихся из перечисленных выше с помощью
конечного числа арифметических операций или путем суперпозиции
этих функций, называется классом элементарных функций, а каждая
функция этого класса – элементарной функцией.

Все элементарные функции непрерывны в каждой
точке своей области определения.