Теория автоматического управления Лекция 8. Устойчивость систем

устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом",

когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

... + a(n-1)y’ + a(n)y = 0.
P = Posin(
t +

),

)

yвын = ymaxsin(

t + y).

D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0.

+ ... + an = ao(p-p1)(p-p2)...(p-pn) = 0,
где p1,

p2, ..., pn - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как ai = -|ai| < 0.

Необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a0 > 0, a1 > 0, ... , an > 0.

Эти условия являются необходимыми, но не достаточными условиями.

по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:
1)

в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;
2) во второй строке - с нечетными;
3) остальные элементы таблицы определяется по формуле с учетом номера столбца и номера строки.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце. Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, на сколько далеко отстоит она от границы устойчивости.

алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического

уравнения от a1 до an;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций

данного критерия, расширяющие его возможности.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют  для  определения  влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость.