ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

задач (например дифференциального уравнения) не является точным;
Исходные данные для решения

задач, как правило, получаются из эксперимента, а каждый эксперимент может дать результат с ограниченной точностью;
При вводе исходных данных в машину, при выполнении арифметических операций, при вводе информации производятся округления;
Погрешности приближенных чисел(погрешности исходных данных и погрешности округления) в процессе решения задач будут последовательно переходить (чаще всего увеличенном размере ) в результаты вычислений и порождать новые погрешности.

и никаким образом не может быть уменьшена в процессе вычисления
Устранимая

погрешность
1. Погрешность аппроксимации (погрешность метода)


2. Погрешность вычислений (погрешность округлений)

единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на

единицу;
Если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда , то оставляемые цифры остаются без изменения;
При округлении, когда отбрасываемые цифры составляют число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры)

А4=0,15497 до сотых
Решение. Т.к. при округлении числа А1 до целых

отбрасываемые цифры (5001)составляют число 0,5001, большее половины единицы (последнего оставляемого разряда), последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (пункт 1). Поэтому после округления А1 получаем число а1=272.
При округлении чисел А2 и А3 по правилу четной цифры(пункт 3) получим а2=271,2; а3=271,2
При округлении числа А4 пункт 2+ получаем а4=0,15
В повседневной практической деятельности, а также при решении той или иной математической задачи используются числа двух видов: точные и приближенные(число незначительно отличающееся от точного и заменяющего его в вычислениях)

величину а, про которую известно, что
|А-а| а.
Таким образом

точное число заключено в границах
А–а  А  а+ а или сокращено
А= аа
АБСОЛЮТНАЯ погрешность отражает лишь количественную сторону погрешности, но не качественную

не более одной или двух цифр, отличных от нуля (двух

значащих цифр).
Замечание 2. В силу определения погрешности АБСОЛЮТНУЮ погрешность округляют до одной или двух значащих цифр только в большую сторону (не придерживаясь сформулированных выше правил округления чисел )

значения чисел неизвестны. Что можно сказать об абсолютной погрешности данных

приближенных чисел?
Решение. Пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютные погрешности приближенных чисел не превосходят половины единицы последнего разряда, т.е.
|А1-а1|0.005=а1
|А2-а2| 0.05=а2
|А3-а3| 50=а3,
Кроме того можно записать:
А1=2,870,005,
А2=300 0,5,
А3=(3 0,5)102

приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине

приближенного числа а:
а = а / |а| ; а0
Замечание 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ погрешность представляет собой безразмерную величину.
При вычислении относительной погрешности округляют в большую сторону и записывают в виде числа, содержащего одну - две значащие цифры

с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков

в виде конечной или бесконечной десятичной дроби:
А=1· 10m+2·10m-1 +…+n·10m-n+1+… (1.5)
Или

а = ai· 10m-i+1 ; i=1,2,…,n, где i – десятичные цифры (i =0,1,2,…9), причем i 0, m –некоторое число (старший разряд числа а )

его записи, начиная с первой слева, отличной от нуля.
Например
5423,47

6 значащих цифр,
0,0000605 3 значащие цифры,
0,060500 5 значащих цифр
Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Различают значащие цифры верные в узком и широком смыслах

в узком смысле, если абсолютная погрешность а приближенного числа а

не превосходит половины единицы (m-n+1) – го разряда, которому принадлежит цифра , т.е если
а0·510 m-n+1

широком смысле, если абсолютная погрешность а приближенного числа а не

превосходит единицы (m-n+1) –го разряда, которому принадлежит цифра n , т.е. если
а10m-n+1
Цифры 1,2,…,n приближенного числа а называются верными в смысле , если абсолютная погрешность числа а превосходит величины ·10m-n+1, т.е.
а·10m-n+1

узком(широком) смысле, если его абсолютная погрешность равна а=0,008
Решение
Следуя определению числа

верных значащих цифр для того, чтобы а1,а2,…аn были верными значащими цифрами числа а необходимо потребовать выполнения неравенства:
аm-n+1, где =1/2(1),
Которое в нашем примере имеет вид 0,008 0-n+1= 1-n . Решение неравенства при =1/2, получим0,0080,510-n+1, 10-n+10,016, n3
Таким образом, у числа а=2,4483 - 3 верные цифры в широком смысле и 2 верные в узком. Остальные цифры приближенного числа не верны. Приведенный способ определения числа верных значащих цифр по известной абсолютной погрешности, связанный с решением неравенств, можно заменять более простым правилом: число верных знаков в приближенном числе отсчитывается, начиная с первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности.

если а=0,000037
Решение Напишем абсолютную погрешность над числом
а=0 ,0 0 0

0 3 7
а=0, 0 0 7 6 5 3 9
Очевидно, что все значащие цифры стоящие слева перед вертикальной чертой, проведенной перед первой значащей цифрой погрешности, будут всегда верными в широком смысле, т.к. число, стоящее за вертикальной чертой (погрешности), всегда меньше единицы разряда, стоящей слева от черты в данном случае.
0,000037< 0,0001
В нашем случае значащие цифры 7 и 6, стоящие слева от черты будут верными и в узком, т.к величина погрешности 0,000037<0,00005 половины единицы разряда десятичных, которому принадлежит последняя цифра 6.
Если же для числа а=0,0076539 а=0,0000503, то поэтому же правилу
а=0, 0 0 0 0 5 0 3
а=0, 0 0 7 6 5 3 9
Чиcло будет иметь две значащие цифры в широком и одну в узком, т.к.
0,050310-4>0,510-4

связана с числом верных знаков соотношением
а10m-n+1
В какой же зависимости

от числа верных значащих цифр находится относительная погрешность?
Пусть приближенное число а,
|а|=а110m+a210m-1+...an10m-n+1...
Имеет n верных значащих цифр в смысле определения а10m-n+1
Разделив обе части неравенства а10m-n+1 на выражение |а|=а110m+a210m-1+...an10m-n+1..., получим

a|aa|.m-n+1/| а110m+a210m-1+...an10m-n+1... | (10mn+1)|а110m | (/ а1)101-n т.е
a (/ а1)101-n , где а1 – первая значащая цифра числа, n – количество верных значащих цифр.

x, y=ln a x; a>1
y=ex, y=exlna·

x, y = x

y=lgax, y=(x | lna| ) -1 ·x , y=x / |lna· lgax|
y=lnx , y=x / x= x , y=x / |lnx| ;

y=sinx, y=|cosx|·x x ,
y=cosx, y=|sinx|·x x ,
y=tgx, y=(1+tg2x)·x x ,
y=ctgx, y=(1+ctg2x)·x x ,

абсолютных погрешностей слагаемых

n
y= xi <
i=1
Абсолютная погрешность алгебраической суммы не может быть меньше абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых.

знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:
minxkymaxxk
1kn

1kn
Действительно, если y=x1+x2+...+xn ,то
y=y/y=(x1+...+xn)/(x1+...+xn )=
=(x1x1+...+ xn xn)/(x1+x2+...+xn )
Обозначив
=maxxk ; =minxk , получим
k k
y(x1+...+ xn )/(x1+x2+...+xn )=
y(x1+...+ xn )/(x1+x2+...+xn )=
y

этих чисел, особенно, если эти числа близки между собой. Это

приводит к потере точности при вычитании близких чисел, что следует учитывать при выборе вычислительной схемы
Действительно, если y=x1 – x2, то
y=x1 +  x2

y= (x1 +  x2 )/|x1 – x2|

n lnu

m lnu n m
u= xi +  yi =  xi / |xi| +  yi / |yi|
i=1 Xi i=1 yi i=1 i=1
n
= xi + yi
i=1

выполняют следующие правила
Выделяют число, имеющее наименьшее число верных значащих цифр;
Округляют

оставшиеся сомножители, оставляя в них на одну значащую цифру больше, чем в выделенном сомножителе;
Сохраняют в произведении столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет выделенный сомножитель

погрешность функции не превышала заданной величины?

n y
у  xi
i=1 xi
Обратная задача теории погрешности имеет однозначное решение только для функции одного аргумента.
x = y / |f’(x)|

f(x1,...,xn) . xi

; i=1,n
xi
Одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности, т.е
f ·x1=...= f · xn
x1 xn
n y y
y , тогда  xi   , n xi  
i=1 Xi Xi
Откуда y
xi   / n
Xi

формулы теории погрешностей будем иметь n

y
y  xi   или
i=1 xi

Xi y ; i=1,n
n·
xi

определения xi=xi·|xi|
Подставляя в общую формулу, получим

n y 
y=  |xi| xi , откуда X i n y ;
i=1 xi  |xi|  xi · xi
Xi n i=1
 yx i ·xi i=1,n
i=1