Z -преобразование

Z – преобразование.

Определение. Z

является функция комплексной переменно X(z). Эта функция определяется следующим образом.

подробного определения с помощью соотношений (1), будем изображать Z –

(2)

(3)

что ряд (3) сходится снаружи круга |z| > r .

Напомним понятие аналитической функции комплексного переменного.
Функция комплексного переменного

(4)

является аналитической в точке z , если в этой точке существует производная.

(5)

Римана.

(6)
В особых точках функция комплексного переменного, не является

Дальше Z – преобразование будем так же называть Z - образом числовой последовательности x(n) .Символически связь между последовательностью и ее Z - образом будем обозначать, так же как и для преобразования Фурье.

соответствует линейная комбинация Z – образов.

отсчетов приводит к умножению Z – образа на множитель z

≥ 0 отсчетов приводит к умножению Z – образа на

степенную функцию приводит к уменьшению аргумента Z – образа в

номер элементов последовательности n приводит к взятию производной от Z

и будем понимать третью

Для свертки будем использовать следующее обозначение.

(7)

(8)

двух последовательностей равно произведению

преобразование X(z) бесконечной последовательности x(n) .

(9)
Тогда

Здесь γ - произвольный замкнутый контур лежащий в области аналитичности функции X(z) и охватывающий все ее особые точки. Кроме того, контур должен идти в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

(10)

r , вне которого - образ является аналитической функцией. Так

– преобразование является частным случаем ряда Лорана, при следующих условиях.
(11)

(12)

После подстановки условий (12) в формулу (11) получаем искомое преобразование (10).

о вычетах.
Теорема 1. В курсе функций комплексного переменного доказывается

(13)

- является полюсом порядка m . Это означает, что

(14)

Здесь u(z) - аналитическая функция в области D . В этом случае вычет функции f(z) в точке находится взятием производной и переходом к пределу.

(15)

В формуле (15) вычисляется производная порядка m-1 . Восклицательный знак означает факториал

принимает простой вид.

(16)
Чтобы использовать теорему о вычетах для вычисления

(17)

Функция f(z) в этом случае будет равна

(19)
Чтобы найти полюсы

знаменатель в функции (19) на элементарные множители.

(20)

видим, что оба полюса ± i являются полюсами первого порядка.

(21)

В пределах сокращаем одинаковые скобки, и переходим к предельным значениям.

(22)

и окончательно получаем.

(24)

виде следующего ряда.

(25)

– преобразования очень удобен для решения разностных уравнений.
Определение. Линейным

(26)

Здесь g(n) – заданная последовательность, а x(n) - решение уравнения (26), которое надо найти. Далее для удобства будем считать .

- образам для последовательности x(n) и g(n) .

2) Используем свойство

(27)

3) Получаем из (26) линейное уравнение для нахождения Z – образа X(z). Решаем это уравнение и находим X(z) .
4) Используем теорему о вычетах и находим решение уравнения (26)

с дополнительными условиями.

Заданная последовательность здесь оказалась константой.

(29)
(30)

последовательности Z - образами.

Найдем Z -образ G(z) для последовательности g(n)

(32)

(33)

прогрессии. Поэтому по известным формулам получаем.

(34)
Подставляем (34) в уравнение

(35)

- образу X(z) , используем теорему о вычетах. Для этого

(36)

Функция (36) имеет одну особую точку z=1 . Это есть полюс третьего порядка m=3. Далее используем формулы (10) и (15) получаем.

(37)

берем вторую производную, переходим к пределу и получаем результат.

(38)

Таким образом, решением разностного уравнения

является следующая последовательность.

(39)

(40)

схеме показаны входящий сигнал x(n) , импульсная характеристика h(n) и

(41)

В развернутом виде свертка (41) представляется в виде следующих сумм.

(42)

Для этого учтем что, Z – преобразование свертки двух

(43)

Здесь функция H(z) является Z - образом импульсной характеристики h(n) линейного дискретного фильтра.

импульсной характеристики h(n) фильтра. Передаточная функция равна отношению Z –

(44)

Пример 3. По заданным входным и выходным последовательностям найти передаточную функцию фильтра. Пусть входящая и выходящая последовательности имеют вид

(45)

номера n=4 все элементы последовательностей равны нулю. Найдем

(46)

Используя формулу (44) находим передаточную функцию ЛДФ.

(47)

линейного дискретного фильтра имеет вид.

(48)
В разностном уравнении

(49)

Z - образов.

(50)
Решаем уравнение (50). В суммах

(51)

С другой стороны, это отношение равно переходной функции ЛДФ.

(53)

описывался следующим разностным уравнением.

(54)
Найдем передаточную функцию это

(56)

Подставляем (55) в общую формулу (53) для вычисления переходной функции ЛДФ. В результате получаем переходную функцию для нашего фильтра

Сравнивая уравнение (57) с общим уравнением ЛДФ (48), получаем:

(58)

переходной функции ЛДФ. В результате получаем переходную функцию для нашего

(59)

нахождения импульсной характеристики h(n) по найденной переходной функции H(z) используем

(60)

Далее, чтобы вычислить контурные интегралы (60) в комплексной плоскости используем теорему вычетов, математическое выражение которой имеет вид.

(61)

f(z) имеет одну особую точку z = -1. Поэтому импульсная

(63)

Особая точка z = -1 , является полюсом первого порядка m = 1 . Поэтому вычет (63) будет вычисляться по формуле.

(64)

фильтра, рассмотренного в примерах 5, 6 , на входной сигнал

(66)

Сначала найдем Z - преобразование для входного сигнала (66)

(67)

геометрической прогрессии. Для геометрической прогрессии имеет место формула:

(68)
Применяем формулу

(69)

выходящего сигнала y(n) .

(70)
Имея Z –

(71)

= -1 и z = 3 , которые являются полюсами

(72)

Окончательно получаем, формулу выходного сигнала:

(73)

фильтров. Последовательное соединение фильтров показано на рисунке.

x(n), X(z) . На выходе имеем сигнал y(n), Y(z). Переходная

(74)

На каждом фильтре имеется входящий и выходящий сигналы. Следую рисунку, для них можно написать следующие соотношения.

(75)

(76)

Объединяя формулы (75) получаем:

Таким образом, при последовательном соединении фильтров передаточная функция системы равна

преобразуется в два сигнала

(79)
Эти сигналы потом складываются, образуя результирующий

(78)

Подставляя формулы (79) в сумму (79) получаем.

(80)

Подставляем (80) в выражение (74), и получаем

(81)

фильтров с обратной связью.

U(z) со второго фильтра, а затем суммарный сигнал X(z) +

(82)

Выходящий сигнал Y(z) одновременно является входящим для второго фильтра. Поэтому основное уравнение для второго фильтра будет иметь вид.

(83)

скобки в уравнении (84) и выразим выходящий сигнал Y(z) через

(86)

Подставляем (85) в выражение (74), и получаем

(85)

разностным уравнением.

(87)
Мы видим, что в уравнении

(88)

такого элемента и его передаточная функция имеют следующий вид.

(89)
Прямая

Прямая форма структурной схемы фильтра создается непосредственно по разностному уравнению фильтра (87). На рисунке показана структурная схема фильтра соответствующая уравнению (87)

с передаточной функцией, если ее записать в виде.

(90)
Пример 8.

(91) в формулу (90), находим передаточную функцию.

(92)

содержащая минимальное количество элементов задержки. Для ее получения представим передаточную

(93)

Тогда формула (90) примет вид.

(94)

с передаточными функциями и

Для этих фильтров напишем соответствующие им разностные уравнения. У первого фильтра все коэффициенты . Поэтому из общего разностного уравнения (87) находим уравнение для первого фильтра.

(95)

второго фильтра , а все

(96)

Здесь число L определяется по формуле:

примера 8.
В примере 8 коэффициенты фильтра равны.

Это означает, что

(97)

равно двум.
На рисунке показана каноническая форма, соответствующая уравнениям (97).

схему фильтра, изображенного на рисунке.
Убедитесь самостоятельно, что Н(z)=1,