Теория принятия решений Целочисленное програм-ние Под задачей целочисленного

в которой все или некоторые переменные должны принимать целые значения.

В том случае, когда ограничения и целевая функция задачи представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. В противном случае, когда хотя бы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной задачей нелинейного программирования.

Способы решения задач целочисленного программирования:
Округление до целого решений задачи ЛП или НЛП без условий целочисленности переменных
Метод полного перебора (British museum technique – последовательный перебор всех вариантов с нахождением оптимума: число возможных решений любой целочисленной задачи является конечным)
Методы с применением оптимизационных алгоритмов (например, метод ветвей и границ, МВГ)
Важно помнить, что методы решения целочисленных задач (перебор или МВГ) во многих случаях разумно применять только тогда, когда переменные принимают небольшие (<20) значения.

Rev. 1.03 / 07.12.2007

ПетрГУ, 2012

был предложен Ландом и Дойгом в 1960 году для решения

общей задачи целочисленного линейного программирования (Land A.H., Doig A.G. An automatic method of solving discrete programming problems // Econometrica. V28, 1960).
Алгоритм метода ветвей и границ представляет собой эффективную процедуру перебора всех целочисленных допустимых решений.
Решается исходная задача ЛП при условии непрерывности переменных.
Если все корни решения нецелочисленны (в обратном случае – оптимальное целочисленное решение найдено), производим ветвление задачи на две, для каждой из задач вводим дополнительные ограничения по одной из переменных xiai, xibi, где ai – наибольшее целое, не превосходящее xi, а bi – наименьшее целое, большее xi, например, при корне исходной задачи x2=2.3 доп. ограничение в одной ветви будет x22, а по другой – x23.
Снова решаются задачи в обеих ветвях с накладыванием последующих ограничений по другим переменным. На каждом шаге проверяется целочисленность корней.
Ветку считают тупиковой, если:
а) допустимое решение очередной задачи ЛП отсутствует;
б) текущее решение (значение целевой функции) хуже уже найденного целочисленного решения;
в) текущая задача ЛП является подзадачей ранее рассчитанной задачи.

ПетрГУ, 2012

лесничества
ЛП1
x1=3.6, x2=6.4
W=34000
ЛП2 (x13)
x1=3, x2=7
W=32500
ЛП3 (x14)
x1=4, x2=5.33
W=33333
ЛП4 (x14, x25)
x1=4.125, x2=5
W=33125
целочисленное
ЛП5 (x14,

x26)
нет
решения

ЛП6 (x14, x25)
x1=4, x2=5
W=32500

ЛП7 (x15, x25)
x1=5, x2=0
W=25000

целочисленное
ОР

целочисленное
ОР

Предыдущие ограничения по одной из переменных остаются в силе до их изменения при ветвлении.

ПетрГУ, 2012

целочисленных переменных необходимо уменьшать насколько возможно. Например, целочисленные переменные, значения

которых должно быть не менее 20, можно рассматривать как непрерывные.
В отличие от общих задач ЛП, добавление новых ограничений особенно включающих целочисленные переменные, обычно уменьшает время решения задач ЦП.
Если нет острой необходимости в нахождении точного оптимального целочисленного решения, отличающегося от непрерывного решения, например, 3%, тогда реализацию метода ветвей и границ для задачи максимизации можно заканчивать, если отношение разницы между верхней и нижней границ к верхней границы меньше 0,03.

(WU-WL)/WU<3%

Метод ветвей и границ можно также применять для решения задач нелинейного программирования.

ПетрГУ, 2012

бревен длиной 6,5 м необходимо изготовить наибольшее число комплектов, в

состав каждого из которых входит 2 шт. детали длиной 2 м и 3 шт. детали длиной 1,25 м.

Подход "в лоб", решение задачи на ЭВМ.

Показатель эффективности: количество (К) готовых комплектов из 50 бревен W=K  max
Управляемые переменные: xA и xB – число деталей А и В, получаемых из заготовки
Ограничения:
по длине заготовки 2xA + 1,25xB  6,5
по комплектности 50xA - 2K  0; 50xВ - 3K  0;
(эти ограничения можно не учитывать)
областные ограничения xA0, xВ0, K0 - целые

Расчет на ЭВМ дает xA=2, xB=2, K=33. Это означает, что если из одной заготовки выкраивать две 2 м детали А и две 1,25 м детали В, то максимальное количество комплектов будет 33.

ПетрГУ, 2012

задача решается с использованием ЭВМ.
Сырье может раскраиваться на заготовки различными

способами - вариантами (картами) раскроя, которые сводятся в специальную таблицу (в нашем примере существует 4 варианта распиловки).

В качестве показателя эффективности целесообразно взять число комплектов K, которое можно получить из заданного числа заготовок (50 бревен). Возможны другие постановки - взять число заготовок Z, которое необходимо иметь, чтобы получить заданное число комплектов или отходы O.

ПетрГУ, 2012

по n варианту.
Целевая функция:
W1=K  max или
W1=О=0.5x1+0x2+0.75x3+0.25x4  min
Ограничения:
по числу

заготовок x1+x2+x3+x4=50
по комплектности 3x1+2x2+x3-2K0
2x2+3x3+5x4-3K0
областные ограничения x1,x2,x3,x4,K0 - целые

ПетрГУ, 2012

что существует пять равноценных вариантов раскроя, которые приводят к получению

41 комплекта из 50 заготовок. Если данный результат сравнить с результатом, полученном в первом случае (33 комплекта из тех же самых 50 заготовок), то получаем выигрыш в 8 комплектов.
ЛПР может выбрать какой-нибудь из предложенных вариантов распиловки, например, на основании предпочтений по длине отходов.

ПетрГУ, 2012