Теория статистических решений (Статистические игры, игры с природой)

к решению

(блоки данных: B+B’+C+C’)
Блок данных C:
e1 – единичный эксперимент
с(e1) –

стоимость эксперимента
Z = {z1,z2,…za} – множество исходов эксперимента
P{z/s} – распределение условных вероятностей исходов эксперимента при том или ином состоянии «природы», т.е P(zl/sj),
l=1, … , a ; j=1, … , n

ПРИМЕР:
e1 – звонок в метеослужбу
с(e1) = 5
z1 – будет дождь
z2 – возможны осадки
z3 – будет ясно
P(zl/sj) =

=

данных C (продолжение):
!!! Возможные решения задачи представляются в виде

решающих функций вида:
φk (z,d) : φk (zl) = di , k=1,w

НАЙТИ: решение задачи в виде решающей функции, т.е. найти способ поведения в зависимости от результата эксперимента

ПРИМЕР:
φ1 = { (1,2), (2,2),(3,1) },
т.е. φ1 (z1) = d2
и т.д.
φ2 = { (1,2), (2,1),(3,1) },
φ3 = { (1,1), (2,1),(3,1) }

Выпишите ВСЕ варианты решающих функций !

задачи (блок С’) :
Функция риска – математическое ожидание потерь в

случае выбора той или иной решающей функции при определенном состоянии «природы»
R(φ,s) = ML (φ,s) = ∑L(φk (zl, di) *P(zl/sj)
z
R(φk, sj) =
= ∑L(φk (zl) = di ; sj) * P(zl / sj)
l

ПРИМЕР:

R(φ,s) =

задачи (блок С’) :
R(φk, sj) = ∑L(φk (zl) = di

; sj) * P(zl / sj)
l

ПРИМЕР:
R(φ1,s1) = L [φ1(z1)=d2; s1] * P(z1/s1) +
+ L [φ1(z2)=d2; s1] * P(z2/s1) +
+ L [φ1(z3)=d1; s1] * P(z3/s1) =
= (-50)*0,5 + (-50)*0,4 + 100*0,1 = (- 25) + (- 20) + 10 = - 35

задачи (блок С’) :
R(φk, sj) = ∑L(φk (zl) = di

; sj) * P(zl / sj)
l

ПРИМЕР:
R(φ1,s1) = L [φ1(z1)=d2; s1] * P(z1/s1) +
+ L [φ1(z2)=d2; s1] * P(z2/s1) +
+ L [φ1(z3)=d1; s1] * P(z3/s1) =
= (-50)*0,5 + (-50)*0,4 + 100*0,1 = (- 25) + (- 20) + 10 = - 35

задачи. Слайд 1
Принцип минимакса

φ *(z) : R(φ*) =
=

min max R (φ,s)
φ s

ПРИМЕР :





φ*(z) = φ1
и
φ*(z) = φ2
R(φ*) = 25

задачи. Слайд 2
Принцип минимального ожидаемого риска
φ * : R(φ*)

= min MR (φ), φ

где MR (φk) = ∑ R(φ,s) * P(s),
s

т.е.: MR (φk) =∑R(φ k,sj) * P(sj)
j

ПРИМЕР :




φ*(z) = φ1
R(φ*) = 7

задачи . Слайд 3
принципы, основанные на использовании апостериорных вероятностей


ДООПРЕДЕЛЕНИЕ

задачи:
Блок D’ – расчет апостериорных вероятностей

задачи . Слайд 4

ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D1 – расчет апостериорных

вероятностей

ПРИМЕР

задачи. Слайд 5
ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D1 – расчет апостериорных вероятностей

ПРИМЕР :
P(z1) = P(z1/s1)*P(s1) + P(z1/s2)*P(s2) =
= 0,5 * 0,3 + 0,1 * 0,7 = 0,15 + 0,07 = 0,22
P(s2/z1) = [P(z1/s2) * P(s2)] / P(z1) =
= 0,1 * 0,7 / 0,22 = 0,32
P(s1/z1) = [P(z1/s1) * P(s1)] / P(z1) =
= 0,5 * 0,3 / 0,22 = 0,68
P(s1/z1) + P(s2/z1) = 1,0 !!

задачи. Слайд 6

ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D1 – расчет апостериорных вероятностей

ПРИМЕР (результаты расчета):

Примечание:
Неопределенность относительно
состояний природы может уменьшится,
а может увеличиться!

задачи. Слайд 7
принципы, основанные на использовании апостериорных вероятностей

ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:

Блок D2 – расчет ожидаемых потерь на основе апостериорных вероятностей

ML^( d, z ) = ∑ L(d, s) * P (s / z)
s
ML^( di, zk) = ∑ L(di, sj) * P (sj / zk)
j
где ML^( d, z ) - ожидаемые потери, рассчитанные на основе апостериорных вероятностей

задачи. Слайд 8
ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D2 – расчет ожидаемых потерь на

основе апостериорных вероятностей
ML^( di, zk) = ∑ L(di, sj) * P (sj / zk)
j

ПРИМЕР :

9
ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D2 – расчет ожидаемых потерь на основе апостериорных

вероятностей
ML^( di, zk) = ∑ L(di, sj) * P (sj / zk)
j

ПРИМЕР :
ML^( d1, z3) = L(d1, s1) * P (s1 / z3) +
+ L(d1, s2) * P (s2 / z3) =
= 100 * 0,08 + 0 * 0,92 = 8

задачи. Слайд 10
ДООПРЕДЕЛЕНИЕ задачи:
Блок D2 – расчет ожидаемых потерь на

основе апостериорных вероятностей
ML^( di, zk) = ∑ L(di, sj) * P (sj / zk)
j

ПРИМЕР (результаты расчета):

задачи. Слайд 11
принципы, основанные на использовании апостериорных вероятностей:

- Принцип

максимального правдоподобия
- Байесовский принцип – принцип минималь-ного ожидаемого риска, рассчитанного на основе знания апостериорных вероятностей

задачи. Слайд 12
Принцип максимального правдоподобия:
на основе каждого исхода

эксперимента делаются выводы о возможном состоянии природы в соответствии с наибольшей условной вероятностью P(s,z)
При построении решающей функции учитываются наиболее вероятные состояния природы

задачи. Слайд 13
Принцип максимального правдоподобия:






ПРИМЕР :
P(s/z) s1 s2

max наиболее вероятное состояние
z1 0,68 0,32 0,68 s1 – будет дождь
z2 0,30 0,70 0,70 s2 – будет ясно
z3 0,08 0,92 0,92 s2 – будет ясно

Отсюда решающая функция: z1 → d2 (т.к. будет дождь),
z2 → d1 (т.к. будет ясно),
z3 → d1 (т.к. будет ясно)

т.е φ*(z) = φ2 = {(1,2), (2,1), (3,1)} – оптимистическая стратегия

задачи. Слайд 14
Байесовский принцип
φ*(z) : ML^ (d*,z) = min

ML^ (d*,z)

ПРИМЕР : φ* = φ2 = {(1,2), (2,2), (3,1)} –пессимистическая стратегия