Слайд 1Теория вероятностей
Основные понятия
Слайд 2Этапы развития теории вероятностей
2-я половина XVI века – первые задачи
по теории вероятностей.
Конец XVII- начало XIX века
–
формирование как самостоятельной
научной дисциплины.
Конец XIX – конец XX века –
современный этап развития.
Л.Пачоли
Д.Кардано
Н.Тарталья
Б.Паскаль
Я. Бернулли
А.Муавр
П.Лаплас
С.Пуассон
П.Л.Чебышёв
А.А.Марков
А.М.Ляпунов
А.Я.Хинчин
А.Н.Колмогоров
Слайд 3Основные понятия
Стохастический эксперимент
( испытание, опыт) –
- это такой эксперимент,
результаты которого заранее нельзя предугадать.
Примеры.
1. Бросание монеты;
2. Выстрел по
мишени;
3. Бросание игральной кости (кубика);
4. Измерение физической величины (длины изделия, влажности или температуры, давления)
Слайд 4Случайное событие –
- это такое событие, которое может произойти
(наступить) или не произойти в результате данного эксперимента.
Обозначения событий: A,
B, C,…,ω,…
Пример 1. Бросание монеты.
А=(выпадение герба)
B=(выпадение цифровой надписи)
Основные понятия
Слайд 5Основные понятия
Пример 2. Бросание игральной кости.
=(выпадение
цифры 1)
=(выпадение цифры 2)
- - - - - - - - - - - - - - - - -
=(выпадение цифры 6)
А=(выпадение четного числа)
В=(выпадение числа, меньше чем 4)
- - - - - - - - - - - - - - - -
Слайд 6Основные понятия
Рассмотрим множество всех событий, которые могут произойти или не
произойти в данном эксперименте.
Невозможное событие – событие, которое
не может наступить
в данном эксперименте - Ǿ.
Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет в данном эксперименте – Ω.
Слайд 7Основные понятия
Пример 2. Бросание игральной кости.
=(выпадение
цифры 1)
=(выпадение цифры 2)
- - - - - - - - - - - - - - - - -
=(выпадение цифры 6)
А=(выпадение четного числа)
В=(выпадение числа, меньше чем 4)
- - - - - - - - - - - - - - - -
Ǿ=(выпадение числа, больше чем 6)
Ω=(выпадение какого-либо числа от 1 до 6)
Слайд 9Основные понятия
Сумма двух событий А и В – это такое
событие С=А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает
хотя бы одно из событий А и В.
Разность двух событий А и В – это такое событие С=А-В, которое происходит тогда, когда А – наступает, а В – не наступает.
Произведение двух событий А и В – это такое событие С=АВ, которое происходит тогда и только тогда , когда наступают и А и В вместе.
Слайд 10Основные понятия
Пример (диаграммы Венна).
В квадрате случайным образом выбирают точку (в
квадрат случайным образом бросают точку).
А =(точка попадает в круг А)
Слайд 11Основные понятия
В=(точка попадает в треугольник В)
А
А+В=(точка попадает хотя бы в
одну фигуру А и В).
Слайд 12Основные понятия
А-В=(точка попадет в круг А
и не попадет в
треугольник В)
А
Слайд 13Основные понятия
A
АВ=(точка попадает в обе фигуры А и В).
Слайд 14Основные понятия
Событие называется противоположным к событию
, если наступает тогда и только
тогда, когда событие не наступает.
А =(точка попадает в круг А)
=(точка не попадает в круг А)
Слайд 15Основные понятия
События А и В называются несовместными, если они не
могут наступить вместе в одном эксперименте.
А =(точка попадает в круг
А)
В=(точка попадает в треугольник В)
А и В – несовместные события
Слайд 16Свойства операций
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)
А+Ǿ=А
А+Ω=Ω
АВ=ВА
А(ВС)=(АВ)С
АǾ=Ǿ
АΩ=A
Ǿ
(А+В)С=АC+BС
(Д.з.)
Слайд 17Пространство элементарных событий
Рассмотрим стохастический эксперимент.
1.События ω взаимно исключают друг друга.
2.
В результате эксперимента обязательно
наступает какое –либо одно
из них.
3. Для любого события А,
по наступлению события ω можно сказать о том,
наступило или не наступило событие А.
События ω - элементарные.
Слайд 18Пространство элементарных событий
Пример 3. Бросание игральной кости.
=(выпадение цифры 1)
=(выпадение цифры 2)
- - - - - - - - - - - - - - - - -
=(выпадение цифры 6)
Слайд 19Пространство элементарных событий
Пример 4.
Завод выпускает N однотипных изделий.
Для оценки качества
выбирают и исследуют m изделий.
ω – любой набор из m
изделий.
- пространство элементарных событий.
Слайд 20Определение вероятности
Рассмотрим стохастический эксперимент.
конечное или счетное множество
элементарных
событий.
Слайд 21Определение вероятности
Свойства вероятности:
1)
2)
P(Ǿ)=0
Слайд 22Частота события
Пусть n – число повторений одного и того же
стохастического эксперимента.
m(A) – число наступлений события А.
Проводятся различные серии из
n повторений одного и того же стохастического эксперимента при
Определение.
Событие А называется стохастически устойчивым,
если
В этом случае Р(А)=р.
Слайд 23Частота события
Пример. Бросание монеты.
А=(выпадение герба).
Бюффон (XVII век). n=4040, m(A)=2048.
К.Пирсон (конец
XIX века). n=24000, m(A)=12012.
P(A)=0,5
Слайд 24Классическая схема
пространство элементарных событий
конечное (i=1, … ,n).
Пусть событие А
может наступить при наступлении
m элементарных событий
Слайд 25Классическая схема
Пример 3. Бросание игральной кости.
=(выпадение
цифры 1)
=(выпадение цифры 2)
- - - - - - - - - - - - - - - - -
=(выпадение цифры 6)
Равновозможные
события
А=(выпадение четного числа)
В=(выпадение числа, меньше чем 4)
Слайд 26Геометрическая схема
Пример.
В квадрате случайным образом выбирают точку (в квадрат случайным
образом бросают точку).
А =(точка попадает в круг А)
Слайд 27Геометрическая схема
На фигуре Ф случайным образом выбирают точку (любое положение
точки равновозможно).
А=(точка попадает в область А).
Ф
А
Слайд 28Геометрическая схема
Пример.
На отрезок длины L наугад бросается точка. Какова вероятность
того, что она упадет не дальше, чем на расстоянии m
от середины отрезка.
Решение.
L
А=(точка упадет не далее, чем на расстоянии m от середины )
= (точка попадает на отрезок длины 2m)
Слайд 29Основные теоремы
Рассмотрим вероятностное пространство ( Ω, A ,Р ).
Теорема
1 (вероятность противоположного события).
Доказательство.
Ǿ
Слайд 30Основные теоремы
Теорема 2 (вероятность суммы событий).
А,В є A
Доказательство.
Слайд 31Условная вероятность
Определение.
Пусть Р(А)>0. Условной вероятностью Р(В/А) события В при условии,
что событие А наступило, называется число
Обозначения:
Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам
вероятности. В частности,
Слайд 32Основные теоремы
Теорема 3 (вероятность произведения событий).
А,В є A
Доказательство.
По определению:
Слайд 33Независимые события
Определение.
Пусть Р(А)>0 и Р(В)>0.
Событие А не зависит от
В, если
Следствие.
Если событие А не зависит от В, то
и событие В
не зависит от А.
Доказательство.
Слайд 34Независимые события
Определение.
События А и В называются независимыми, если
На практике из
физической независимости событий делают вывод о теоретико-вероятностной независимости.
Слайд 35Независимые события
Пример. Определить надежность (вероятность безотказной работы за время Т)
схемы из двух последовательно соединенных элементов, если надежность элементов
и
Решение.
А=(работает элемент А) р(А)=р1
В=(работает элемент В) р(В)=р2
С=(схема работает) С=АВ р(С) = р(АВ)
А и В – ( физически ) независимые события
А
В
Слайд 36Независимые события
Теорема 4 (вероятность наступления хотя бы одного события) .
Пусть
А и В независимые события, р(А)=р1, р(В)=р2,
С=(наступит хотя бы одно
из событий А и В).
Обозначим:
Тогда
Доказательство.
Слайд 37Полная группа событий
События
образуют полную группу, если они
1) попарно несовместны
2) в результате эксперимента обязательно какое- либо одно из них наступит
Пример 1.
В стохастическом эксперименте
рассмотрим события
Они образуют полную группу.
- гипотезы
Слайд 38Полная группа событий
Пример 2. Бросание игральной кости.
=(выпадение цифры 1)
=(выпадение цифры 2)
- - - - - - - - - - - - - - - - -
=(выпадение цифры 6)
Пусть А=(выпадение четного числа) и
В=(выпадение нечетного числа)
События А и В образуют полную группу.
- полная группа событий
Слайд 39Формула полной вероятности
Теорема.
Если события
образуют полную группу и
, то
для любого события А справедлива формула
Слайд 40Формула полной вероятности
Пример 2.
Три бригады ведут укладку бетонных блоков.
Первая бригада
выполняет 50% всего объема работ, вторая - 30% и третья
– все остальное.
Вероятность появление брака для первой бригады равна 0,05, второй – 0,06 и третьей – 0,1.
Найти вероятность того, что случайно выбранный и проверенный блок оказался установлен с нарушением технологии.
Слайд 41Формула полной вероятности
Решение.
А=(блок установлен с нарушением технологии)
Слайд 42Формула Байеса
Теорема.
Пусть события
образуют полную группу.
Пусть событие А наступило (
Р(А)>0 ).
Тогда вероятность того,
что при этом была реализована гипотеза
вычисляется по формуле
Слайд 43Формула Байеса
Пример 3.
Три бригады ведут укладку бетонных блоков.
Первая бригада выполняет
50% всего объема работ, вторая - 30% и третья –
все остальное.
Вероятность появление брака для первой бригады равна 0,05, второй – 0,06 и третьей – 0,1.
Случайно выбранный и проверенный блок оказался установлен с нарушением технологии.
Какова вероятность того, что он был уложен третьей бригадой ?
Слайд 44Формула Байеса
Решение.
Из примера 2 :
Слайд 45Свойства операций
C
C
C
(A+B)C
AC
BC
+
=
