Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике
Слайд 2И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Рекомендуемая литература
Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.
Слайд 3И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Содержание
Плотность распределения
вероятностей непрерывной случайной величины
Вероятностный смысл плотности распределения
Числовые характеристики непрерывной случайной
величины
Слайд 4И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Плотность распределения
непрерывной случайной величины
Ранее мы ввели функцию распределения, с помощью которой
можно задать закон распределения непрерывной случайной величины. Этот способ не является единственным. Непрерывную случайную величину можно задать с помощью другой функции, которую называют плотностью распределения случайной величины.
Слайд 5И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Плотность распределения
вероятностей непрерывной случайной величины
Это функция, равная первой производной от функции
распределения непрерывной случайной величины, .
Из определения непрерывной случайной величины следует, что плотность распределения является кусочно-непрерывной функцией.
Слайд 6И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Свойства плотности
распределения
Плотность распределения является неотрицательной функцией: f(x)≥0, для
.
Это свойство выполняется, т.к. функция распределения является неубывающей. А производная неубывающей функции является неотрицательной функцией.
Слайд 7И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Свойства плотности
распределения
Вероятность P(a
Ньютона-Лейбница, т.к. функция F(x) является первообразной для f (x).
Слайд 8И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Свойства плотности
распределения
Геометрический смысл свойства 4 заключается в том, что площадь под
графиком функции распределения равна единице, т.е. это вероятность того, что случайная величина примет хоть какое-нибудь значение.
Слайд 9И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Плотность
распределения случайной
величины имеет вид:
Найти значение параметра С
Слайд 10И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вероятностный смысл
плотности распределения
Из определения плотности распределения следует, что
При малых приращениях
Δx приближённо выполняется равенство или
Слайд 11И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вероятностный смысл
плотности распределения
Другими словами, величина
f(x)Δx приближённо равна вероятности того, что
случайная величина X принимает значения в интервале (x, x+Δx).
Слайд 12И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Числовые характеристики
непрерывной случайной величины
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Слайд 13И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Замечания
Если возможные
значения случайной величины принадлежат интервалу(-∞, +∞) , то интегралы являются
несобственными. Предполагается, что несобственные интегралы сходятся абсолютно.
Свойства числовых характеристик, введённые для дискретных случайных величин, выполняются и для непрерывных величин.
Слайд 14И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Замечания
Для вычисления
дисперсии можно пользоваться более удобной формулой:
Слайд 15И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Плотность
распределения случайной
величины имеет вид:
Найти значение параметра С, вычислить
математическое
ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение случайной
величины X, найти интегральную функцию
распределения и построить графики функций
F(x) и f(x) .
Слайд 16И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Решение. Значение
параметра С найдём из
условия
Слайд 17И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
