Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике
Слайд 2И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Рекомендуемая литература
Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.
Слайд 3И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Содержание
Основные законы
распределения непрерывной случайной величины
Равномерное распределение
Нормальное распределение
Вычисление вероятности заданного отклонения
Показательное распределение
Слайд 4И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Основные законы
распределения непрерывной случайной величины
Законы распределения непрерывных случайных величин удобнее всего
задавать с помощью функции плотности распределения. Очевидно что, зная функцию плотности распределения, мы всегда можем вычислить интегральную функцию распределения случайной величины
Слайд 5И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Равномерное распределение
Плотность
распределения:
График плотности распределения:
Слайд 6И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Равномерное распределение
Построим
интегральную функцию равномерного распределения:
Очевидно, что для t
x∈(a, b)
Для x>b F(x)=1.
Слайд 7И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Равномерное распределение
График
интегральной функции распределения имеет вид
Слайд 8И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Равномерное распределение
Числовые
характеристики случайной величины, имеющей равномерное распределение:
Слайд 9И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Случайная
величина распределена
равномерно на отрезке [10, 14]. Запишите
функции распределения
и плотности
распределения для этих величин.
Постройте графики этих функций.
Вычислите математическое ожидание,
дисперсию, среднее квадратическое отклонение
случайной величины. Найдите вероятность
P(11
Слайд 10И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Решение.
Слайд 11И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормальное распределение
Плотность
распределения:
Нормальное распределение определяется двумя параметрами a и σ, a –любое
действительное число, σ>0.
Достаточно задать эти параметры, и нормальное распределение будет полностью задано.
Слайд 12И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормальное распределение
Числовые
характеристики случайной величины, распределённой по нормальному закону:
Замечание. Нормальное распределение
с параметрами a =0 и σ =1называют нормированным
Слайд 13И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормированное нормальное
распределение
Плотность нормированного распределения
Свойства этой функции хорошо изучены. Она является чётной,
достигает максимального значения при x=0, выпукла вверх при x∈(-1, 1) и выпукла вниз при
Слайд 14И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормированное нормальное
распределение
График этой функции имеет вид
Слайд 15И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормированное нормальное
распределение
Значения функции fo(x) табулированы.
Интегральная функция нормированного нормального распределения имеет вид:
Слайд 16И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормированное нормальное
распределение
Можно доказать, что,
где функция
Функцию Ф(x) называют интегральной функцией Лапласа. Она
табулирована. Её свойства мы изучали на предыдущих занятиях.
Слайд 17И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормальное распределение
Нетрудно
убедиться в том, что для произвольной нормальной случайной величины с
параметрами a и σ интегральная функция распределения
Слайд 18И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормальное распределение
Вероятность
того, что случайная величина попадёт в заданный интервал, можно вычислить
по формуле:
Слайд 19И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
График плотности
нормального распределения
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой
Гаусса. Исследуем, как параметры и влияют на форму кривой.
Изменение значения параметра a не влияет на форму кривой, а приводит к её сдвигу по оси Ox вправо, если а >0, и влево, если а <0.
Слайд 20И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
График плотности
нормального распределения
Слайд 21И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Нормальное распределение
Максимальное
значение функции плотности нормального распределения равно
. Поэтому уменьшение параметра σ приводит к увеличению максимального значения и к сжатию кривой относительно оси Ox. Увеличение параметра σ приводит к уменьшению максимального значения и к растяжению кривой относительно оси Ox.
Слайд 22И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
График плотности
нормального распределения
Слайд 23И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вычисление вероятности
заданного отклонения
Вычислим вероятность следующего события
,
если X- нормально распределённая случайная величина.
Воспользуемся формулой
Слайд 24И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Вычисление вероятности
заданного отклонения
Слайд 25И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Случайная
величина X распределена
по нормальному закону с параметрами
a=-2, σ=1/3
. Построить графики
нормированной плотности и заданной
плотности распределения. Найти значения
математического ожидания, дисперсии,
среднего квадратического отклонения.
Вычислить вероятность .
Вычислить .
Слайд 26И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Решение.
Слайд 27И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Показательное распределение
Плотность
распределения
Параметр распределения λ > 0.
Слайд 28И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Показательное распределение
Числовые
характеристики показательного распределения:
Слайд 29И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Пример. Случайная
величина X распределена
по показательному закону с параметром λ=1.
Записать
функции распределения и плотности
распределения. Построить их графики.
Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое
отклонение, найти вероятность .
Слайд 30И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
Решение.
Слайд 31И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей»
