Теория вероятностей и математическая статистика

распределения

и др., Математическая статистика, под ред. В.С. Зарубин and А.П.

Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424.
Фигурин, В.А. and В.В. Оболонкин, Теория вероятностей и математическая статистика. 2000, Минск: ООО "Новое знание". 207.  

Тема 8. Оценка закона распределения

распределения выборки) называют функцияю F*(x)=ni/n , ni – число элементов

выборки меньших x, n – объем выборки.
 
 
 
Свойства функции распределения.
Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]
Функция распредлеения F*(x) – неубывающая функция.
Если x1 – наименьшее значение выборки, а xk – наибольшее, то
F*( x)=0 при x F*( x)=1 при x>xk


Функция распределения определяет для каждого x относительную частоту события
 X 

реализаци случайной выборки

из генеральной совокупности X, называют функцию, которая во всех точках интервала Ji, i=1,m равна ni/(nΔ), а вне интервала J равна 0. Δ – длина интервалов Ji.

Для больших объемов выборки, удобно строить статистический ряд. В нижней строке таблицы – отностительные частоты появления . Разделив это значение на длину интервала – получим значения плотности распределения в данном интервале Δ.
 
Функция pn(x) – кусочно постоянная. График этой функции называется гистограммой.

Тема 8. Оценка закона распределения

Часто гистограммой называют диаграмму, составленную из прямоугольников с основанием

Δ и высотами ni/(nΔ), i=1,m. Суммарная площадь всех прямогуольников равна 1.
 Площадь каждого прямоугольника ni/n – частота попадания элементов выборки в соотвествующий интервал.
 
Наряду с гистограммой часто используют другое графическое представление функции p(x) – полигон частот.
 
Полигон частот – это ломаная, отрезки которой соединяют середины горизонтральных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме.

 Полигон используют также при описании дискретных случайных величин. В этом случае по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие частоты. Соседние точки соединяют отрезками прямой.

Тема 8. Оценка закона распределения

Выбор количества интервалов.
Выбор количества интервалов существенно

зависит от объема данных. В литературе приводятся несколько руководств по выбору числа интервалов.
Например,
Формула Старджеса:
 
m=log2n+1=3,32ln n +1.
 
Другие методы расчета
 
m=5 ln n
m=n^(1/2)
 
Формулы следует рассматривать как оценку снизу для количества интервалов.
 

Тема 8. Оценка закона распределения

Аналогично рассматриваются числовые характеристики генеральной совокупности (теоретические числовые характеристики )

и выборочные числовые характеристики.
 
По определению выборочный начальный момент k- того порядка


Выборочный начальный момент первого порядка – выборочное среднее.


Выборочный центральный момент k-того порядка


Выборочный центральный момент 2-го порядка - выборочная дисперсия.
 

Выборочное среднее квадратичное отклонение

Тема 8. Оценка закона распределения

Выборочные характеристики можно ввести также и при рассмотрении выборок из

многомерных генеральных совокупностей.

Основное свойство выборочных моментов, как начальных, так и центральных, и в том числе выборочного среднего и выборочной дисперсии, состоит в том, что при увеличении объема выборки n они сходятся по вероятности к соответствующим теоретическим (генеральным) моментам*.
 

Тема 8. Оценка закона распределения

и эмпирического распределений производится с помощью правила – критерия согласия.
Критерий

Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины.
Для проверки критерия вводим статистику. (статистика – функция случайной выборки)

- предполагаемая вероятность попадания в i-тый интервал.

– соответствующее эмпирическое значение, ni- число элементов выборки из i-того интервала, N – полный объем выборки.

X – случайная величина , следовательно хи-квадрат тоже случайная величина и должна подчиняться распределению «хи-квадрат».

полученная статистика превосходит квантиль закона распределения χ2 заданного уровня значимости

α с l=(k-p-1) степенями свободы, где k – число наблюдений, p – число оцениваемых параметров закона распределения, то гипотеза отвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости.

Кванти́ль в математической статистике — такое число, что заданная случайная величина не превышает его лишь с фиксированной вероятностью. Квантиль xp порядка p F(xp)=p.

x2, …xn находят оценки параметров теоретического распределения.

Вычисляют по теоретическому распределению

вероятности попадания случайной величины в i-тые интервалы ( ).

Рассчитывают значение статистики χ2 .

Определяют число степеней свободы.

Выбирают уровень значимости α – как правило 0,05 или 0,01.

По таблицам находят квантиль распределния «хи-квадрат» χ2l,α .

Если статистика χ2 больше χ2α, то гипотеза отвергается при уровне значимости α .

Критерий согласия Хи-квадрат (критерий Пирсона)

(

Тема 8. Оценка закона распределения