Слайд 1Углы, связанные с окружностью
Угол с вершиной в центре окружности называется
центральным.
Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность,
называется вписанным.
Каждый центральный угол данной окружности определяют дугу окружности, которая состоит из точек окружности, принадлежащих этому углу.
Слайд 2Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на
ту же дугу окружности.
Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности.
Вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
Слайд 3Угол между касательной и хордой
Теорема. Угол, с вершиной на окружности,
одна сторона которого лежит на касательной, а вторая – пересекает
окружность, измеряется половиной дуги окружности, лежащей внутри этого угла.
Слайд 4Угол с вершиной внутри окружности
Теорема. Угол, с вершиной внутри окружности,
измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный
с ним угол.
Слайд 5Угол с вершиной вне окружности
Теорема. Угол, с вершиной вне окружности,
стороны которого пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри
этого угла.
Слайд 6Угол с вершиной вне окружности
Теорема. Угол, с вершиной вне окружности,
одна сторона которого лежит на касательной к окружности, а вторая
сторона пересекает окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла.
Слайд 7Угол с вершиной вне окружности
Теорема. Угол, с вершиной вне окружности,
стороны которого лежат на касательных к окружности, измеряется полуразностью дуг
окружности, заключенных внутри этого угла.
Слайд 8Упражнение 1
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности?
Ответ: 90о.
Слайд 9Упражнение 2
Найдите центральный угол AOB, опирающийся на хорду AB, равную
радиусу.
Ответ: 60о.
Слайд 10Упражнение 3
Угол ACB вписан в окружность. Градусные величины дуг AC
и BC равны 98о и 48о соответственно. Найдите угол ACB.
Ответ:
107о.
Слайд 11Упражнение 4
Ответ: 30о.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая
составляет окружности.
Слайд 12Упражнение 5
Ответ: 18о.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая
составляет 10 % окружности.
Слайд 13Упражнение 6
Вписанный угол на 35 меньше центрального угла, опирающегося на
ту же дугу. Найдите вписанный угол.
Ответ: 35о.
Слайд 14Упражнение 7
Центральный угол на 51о больше вписанного угла, опирающегося на
ту же дугу. Найдите вписанный угол.
Ответ: 51о.
Слайд 15Упражнение 8
Под каким углом из точки C дуги окружности видна
стягивающая ее хорда, если дуга содержит 100о?
Ответ: 130о.
Слайд 16Упражнение 9
Под каким углом из точки дуги окружности видна стягивающая
ее хорда, если дуга составляет одну треть окружности?
Ответ: 120о.
Слайд 17Упражнение 10
Угол ACB, величиной 50о, вписан в окружность. Найдите градусную
величину дуги ACB.
Ответ: 260о.
Слайд 18Упражнение 11
Ответ: 50о.
Вершины треугольника ABC, вписанного в окружность, делят
окружность на части, градусные величины которых равны 100о, 120о и
140о. Найдите наименьший угол треугольника ABC.
Слайд 19Упражнение 12
Ответ: 45о.
Сторона AB треугольника ABC равна
, радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C.
Слайд 20Упражнение 13
Ответ: 30о.
Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности.
Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.
Слайд 21Упражнение 14
На рисунке угол ACB равен 30о, угол AEF равен
40о. Найдите угол BDF.
Ответ: 70о.
Слайд 22Упражнение 15
Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны
45о и 30о соответственно, S – точка пересечения AD и
BC. Найдите угол ASC.
Ответ: 75о.
Слайд 23Упражнение 16
Хорда CD пересекает диаметр AB окружности под углом 60о.
Градусная величина дуги AD равна 80о. Найдите градусную величину дуги
BC.
Ответ: 40о.
Слайд 24Упражнение 17
На рисунке угол A равен 40о, угол B равен
30о, угол D равен 45о. Найдите угол EFC.
Ответ: 115о.
Слайд 25Упражнение 18
Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от
окружности дуги A1B1, A2B2, градусные величины которых равны 30о и
100о. Найдите угол C.
Ответ: 35о.
Слайд 26Упражнение 19
Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны
20о и 50о соответственно, S – точка пересечения прямых AB
и CD. Найдите угол ASC.
Ответ: 30о.
Слайд 27Упражнение 20
Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от
окружности дуги AB1, AB2, градусные величины которых равны 60о и
140о соответственно, CA – касательная. Найдите угол C.
Ответ: 40о.
Слайд 28Упражнение 21
Через концы дуги в 60о проведены касательные, пересекающиеся в
точке C. Найдите угол ACB.
Ответ: 120о.
Слайд 29Упражнение 22
Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44о. Найдите углы,
которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через
ее концы.
Ответ: 22о.
Слайд 30Упражнение 23
Две равные окружности расположены таким образом, что каждая из
них проходит через центр другой. Найдите угол, под которым видна
их общая хорда AB из центра O1 одной из окружностей.
Ответ: 120о.
Слайд 31Упражнение 24
Острый вписанный угол опирается на хорду, которая делит окружность
на две части, градусные величины которых относятся как 4 :
5. Найдите этот угол.
Ответ: 80о.
Слайд 32Упражнение 25
Ответ: 90о.
Точки А, В, С, расположенные на окружности
c с центром в точке O, делят эту окружность на
три дуги, градусные величины которых относятся как 3 : 4 : 5. Найдите угол AOB.
Слайд 33Упражнение 26
Ответ: 105о.
Точки А, В, С, расположенные на окружности,
делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся
как 2 : 3 : 7. Найдите больший угол треугольника АВС.
Слайд 34Упражнение 27
Окружность разделена точками A, B, C, D на четыре
части, градусные величины которых относятся как 3:7:5:3. Найдите меньший угол
четырехугольника ABCD.
Ответ: 60о.
Слайд 35Упражнение 28
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, угол A равен
75о, угол B равен 90о. Найдите разность двух других углов.
Ответ:
15о.
Слайд 36Упражнение 29
Углы A и C вписанного в окружность пятиугольника ABCDE
равны 120о и 100о соответственно. Найдите угол DBE.
Ответ: 40о.
Слайд 37Упражнение 30
На рисунке угол A равен 120о, угол C равен
110о. Найдите угол E.
Ответ: 130о.
Слайд 38Упражнение 31
Хорда CD перпендикулярна радиусу OB окружности и пересекает его
в середине E. Найдите градусную величину дуги BC.
Ответ: 60о.
Слайд 39Упражнение 32
Окружность разделена точками A, B, C, D на четыре
части, градусные величины которых относятся как 3:7:5:3. Найдите угол между
диагоналями AC и BD четырехугольника ABCD.
Ответ: 80о.
Слайд 40Упражнение 33
Окружность разделена точками A, B, C, D на четыре
части, градусные величины которых относятся как 1:2:3:4. Найдите угол между
прямыми AD и BC.
Ответ: 36о.
Слайд 41Упражнение 34
Из точки вне окружности проведены к ней две касательные.
Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности.
Найдите угол между касательными.
Ответ: 60о.
Слайд 42Упражнение 35
В угол АСB вписана окружность. Точки касания делят окружность
на дуги, градусные величины которых относятся как 3:2. Найдите величину
угла АCB.
Ответ: 36о.
Слайд 43Упражнение 36
В угол АСB, величиной 50о, вписана окружность. Точки касания
делят окружность на две дуги. Найдите градусную величину наибольшей дуги
окружности, заключенной внутри угла ACB.
Ответ: 230о.
Слайд 44Упражнение 37
В угол АСB, величиной 45о, вписана окружность. Точки касания
делят окружность на две дуги. Найдите число, выражающее отношение градусных
величин меньшей и большей дуг окружности, заключенных внутри угла ACB.
Ответ: 3:5.
Слайд 45Упражнение 38
Окружность разделена точками А, В, С на дуги, градусные
величины которых относятся как 11 : 3 : 4. Через
точки А, В, С проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите наибольший угол образовавшегося треугольника DEF.
Ответ: 80о.
Слайд 46Упражнение 39
Треугольник ABC вписан в окружность. Угол A равен 40о,
угол B равен 60о. Найдите угол между касательной к окружности,
проведенной через вершину C и прямой AB.
Ответ: 20о.
Слайд 47Упражнение 40
Треугольник ABC вписан в окружность. Угол A равен 40о,
угол B равен 60о. Найдите угол между касательными к окружности,
проведенной через вершины A и B.
Ответ: 20о.
Слайд 48Упражнение 41
Стороны четырехугольника ABCD касаются окружности в точках, делящих эту
окружность на четыре части, градусные величины которых относятся как 8:7:11:10.
Найдите наименьший угол четырехугольника ABCD.
Ответ: 70о.
Слайд 49Упражнение 42
Две окружности касаются внешним образом в точке C, AB
– их общая внешняя касательная, A и B – точки
касания. Найдите угол ACB.
Ответ: 90о.
