Условная вероятность.Теоремы сложения и умножения вероятности

называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие

А уже наступило.

Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и безусловная вероятность. # Из ящика, содержащего 4 белых и 7 чёрных шаров наудачу последно извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что 2-й шар - чёрный при условии, если первым был извлечён белый шар.

равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,

вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого

последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: # Из ящика, содержащего 4 кр., 6 зел., и 5 син. шаров наудачу последовательно извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что первым будет извлечён красный шар, вторым – зелёный и третим – синий (извлечённые шары обратно в ящик не возвращаются). Решение:

события В не зависит от появления события А.
Def:

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е., если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

от события А, то и событие А не зависит от

события В.

Th: Для независимых событий теорема умножения имеет вид


Def: Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называются зависимыми.

них независимы.
Def: Несколько событий называют независимыми в совокупности,

если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Следствие из Th умножения:
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна

сумме вероятностей этих событий.


Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

хотя бы одного из событий

, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

имеют одинаковую вероятность, равную р, то

вероятность появления хотя бы одного из этих событий

бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

событий без вероятности их совместного появления:

Замечание: При использовании формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

орудий соответственно равны:

Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) хотя бы одним из орудий.
Ответ: р=0,94

условии появления одного из несовместимых событий

Th: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

и одному чёрному шаров. В одной 10 чёрных. В двух

по 3 белых и одному чёрному шаров.
Найти вероятность того, что вынутый наудачу выбранной урны шар окажется белым.
Решение: