Условный экстремум, условия его существования и методы отыскания

наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в замкнутой ограниченной

области.

отысканием локальных экстремумов функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными

условиями. Вместе с тем, в приложениях часто встречается задача об отыскании экстремума функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным уравнениям связи. Экстремумы такого рода называют условными.
ПРИМЕР.
Пусть требуется найти экстремум функции
z = x2 + y2
при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют уравнению связи
х + у – 1 = 0.
Таким образом, экстремумы ищутся не на всей плоскости, а а лишь на прямой х + у – 1 = 0.

х из уравнения связи и подставим в исследуемую функцию. Таким

образом, мы сведем поставленную задачу к задаче об отыскании безусловного экстремума функции одной переменной
z = 2x2 – 2x + 1.
z ′ = 4x – 2 = 0 ⇒ x = 1/2; z ′′ = 4 > 0, то есть x = 1/2 – точка минимума. Итак (1/2, 1/2) – точка условного минимума.

функции
z = f ( x, y )

(1)
при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи
ϕ ( х, у ) = 0. (2)
Эта задача может быть решена так, как в предыдущем примере. Это, так называемый, прямой метод отыскания точек условного экстремума. Однако часто уравнение связи трудно решается относительно х. Поэтому часто используют так называемый
метод множителей Лагранжа.
Пусть функции f(x, y) и ϕ (х, у) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x0, y0). Составим функцию
F(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ (х, у), (3)
которую называют функцией Лагранжа, а параметр λ – множителем Лагранжа.

функции f(x, y) при уравнении связи ϕ (х, у) =

0, необходимо, чтобы ее координаты при некотором значении параметра λ удовлетворяли системе уравнений:




Заметим, что при условии связи (2) экстремумы функции Лагранжа совпадают с экстремумами исследуемой функции (1).

Достаточные условия существования условного экстремума.
Пусть f (x, y) и ϕ (х, у) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x0, y0) и в этой точке выполнены необходимые условия существования условного экстремума функции f(x, y) при ограничениях (2).

при фиксированном значении параметра λ, то есть


Если при выполнении условия


второй

дифференциал функции Лагранжа


положительно определенная квадратичная форма, то (x0, y0) – точка условного минимума;
отрицательно определенная квадратичная форма, то (x0, y0) – точка условного максимума;
неопределенная квадратичная форма, то (x0, y0) не является точкой условного экстремума функции.

уравнения связи
x2 + y2 = 25.
Составим функцию Лагранжа
F(x, y, λ)

= 5 – 3x – 4y + λ( x2 + y2 – 25).
Найдем стационарные точки функции Лагранжа







Таким образом, функция f (x, y) может иметь условный экстремум только в точках (3, 4) и (–3, –4).

и (–3, –4) дифференциалы dx и dy связаны условием

При выполнении

этого условия





Следовательно, функция f(x, y) имеет
в точке (3, 4) условный минимум z(3, 4) = – 20,
а в точке (–3, –4) – условный максимум z(–3, –4) = 30.

u = f ( x, y, z)

при выполнении условий связи
ϕ 1 (х, у, z) = 0, ϕ 2 (х, у, z) = 0.
Здесь также возможен как прямой метод поиска условного экстремума, так и метод множителей Лагранжа.
Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:
F(x, y, z, λ1, λ2) = f(x, y, z) + λ1ϕ 1 (х, у, z) + λ2ϕ 2 (х, у, z).
Стационарные точки этой функции находятся как решения системы




Далее исследование проводится по той же схеме, что и для функции двух переменных.
В данном случае возможно и только одно уравнение связи.

f(x1, x2, ... , xm) : Rm → R
непрерывна на

ограниченном замкнутом множестве G ⊂ Rm (на компакте) и дифференцируема во всех внутренних точках этого множества.
Напомним, что для функции, непрерывной на компакте, существуют на этом компакте точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти точки могут быть внутренними и граничными. Поэтому следует действовать по такой схеме:
найти стационарные точки внутри области G и вычислить значения функции в этих точках;
исследовать функцию на границе области (здесь решается задача на условный экстремум);
сравнить значения функции в стационарных точках и на границе, выбрать среди них наибольшее и наименьшее.

2xy + x + 2y
в замкнутой ограниченной области
G: y

– x ≤ 2, x ≤ 0, y ≥ 0.

x

y

0

1

2

– 1

– 2

y = x + 2

y = 0

x = 0

G

zy = 2x + 2.


Точка М1(–1, 1/2)∈G, z(–1,1/2) = 0.

Исследуем

функцию на границе области.
y = 0.
Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений на отрезке [– 2, 0] функции одной переменной
f ( x ) = z ( x, 0) = x2 + x.
Сначала найдем ее стационарные точки.
f ´ (x ) = 2x + 1 = 0 ⇒ x = – 1/2 ∈ [– 2, 0]. f (– 1/2) = – 1/4.
На концах отрезка f (– 2) = 2, f (0) = 0.
Следовательно, z(–1/2, 0) = – 1/4, z(–2, 0) = 2; z(0, 0) = 0.

[0, 2] функцию
g ( y ) = z (0, y)

= 2y.
Эта функция не имеет стационарных точек.
На конце отрезка g (2) = 4. Следовательно, z (0, 2) = 4.

y = x + 2.
Исследуем на наибольшее и наименьшее значение на [– 2, 0] функцию
ϕ ( x) = z ( x, x + 2) = x2 + 2x(x + 2) + x + 2(x + 2) = 3 x2 + 7 x + 4.
ϕ ´ ( x) = 6x + 7 = 0 ⇒ x = – 7/6 ∈ [– 2, 0], ϕ (– 7/6) = – 1/12.
Следовательно, z(–7/6, 5/6) = – 1/12.

0;
М2 (–2, 0), f(М2)= 2;
М3 (0, 0), f(М3)=

0;
М4 (0, 2), f(М4)= 4;
М5 (–1/2, 0), f(М5)= –1/4;
М6 (–7/6, 5/6), f(М6)= –1/12.


В результате получим, что
zнаиб = 4 в точке М4 (0, 2) ,
zнаим = –1/4 в точке М5 (–1/2, 0) .

x

y

0

– 2

2

M1

M2

M3

M4

M6

M5

y2
в замкнутой ограниченной области
G: x2 + y2 ≤ 2x.
x
y
0
–

1

1

2

G

М1(0, 0) – стационарная точка. z(0, 0) = 0.

Исследуем функцию

на границе области.
Будем решать задачу на условный экстремум, то есть найдем наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 – y2,
аргументы которой удовлетворяют уравнению связи
x2 + y2 – 2x = 0.
Составим функцию Лагранжа
F(x, y, λ) = x2 – y2 + λ( x2 + y2 – 2x).
Найдем стационарные точки функции Лагранжа

точках
М1(0, 0), М2(2, 0),



В результате получим:
zнаиб = 4 в

точке М2(2, 0),

zнаим = в