Устойчивость автоматических систем регулирования

свойство АСР возвращаться в установившееся состояние после выхода из него

в результате какого-либо воздействия (возмущающего или задающего).
Требование устойчивости является главным требованием к АСР

основе теории устойчивости лежит концепция опорно-возмущенного движения А.М.Ляпунова:
Состояние выходной величины

y (τ) определяется
1) состоянием входной величины (вынужденное или возмущенное движение)
2) собственными свойствами системы

то после снятия входного воздействия (все слагаемые в правой части

дифференциального уравнения системы стали 0 - см. раздел 1.6), все изменения выходной величины через некоторое время также прекратятся .
Следовательно, свойство устойчивости зависит только от левой части уравнения. Она (левая часть) определяет собственное (опорное) движение системы.

устойчивости нужно решить однородное дифференциальное уравнение

т.е. найти функцию y(τ) и проанализировать ее поведение при τ → ∞. Если при τ → ∞ y(τ) → 0, то система устойчива.

устойчивости АСР можно сделать по ее характеристическому уравнению, которое получается

приравниванием к 0 знаменателя передаточной функции АСР:

Характеристическое уравнение:

АСР необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели

отрицательные вещественные части

устойчивости АСР

математического описания системы, позволяющие судить о ее устойчивости, не прибегая

к решению характеристического уравнения (т.е. без нахождения корней)

В теории и практике АСР используются алгебраические и частотные критерии.

до 3-го порядка, использует характеристическое уравнение замкнутой АСР.
W(p) (замкн.)

→ хар-е ур-ние → критерий

Вышнеградского необходимо и достаточно выполнения двух условий: ɑ3 >

0;
ɑ₂∙ɑ₁ > ɑ₃∙ɑ0.

частотных характеристик АСР в замкнутом и условно разомкнутом состояниях.
Достоинства по

сравнению с алгебраическими: наглядность, возможность анализировать влияние параметров объекта и регулятора на качество регулирования, позволяют находить способы улучшения качества регулирования.

звеньев, системы) на гармонические входные воздействия

при 0 < ω < ∞
Фазо-частотная характеристика ϕ(ω) –ФЧХ

- изменение ϕ при 0 < ω < ∞
Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jω) - АФЧХ - (АФХ) - комплексная функция частоты 0 < ω < ∞
W(jω) = U(ω) + j V(ω)
U(ω) - вещественная частотная характеристика
V(ω) – мнимая частотная характеристика

путем замены p на jω :



Например, для пропорционального звена W(p)

= К W(jω) = К ; А(ω) = К ; ϕ(ω) = 0

W(p) W(jω)

1/(Tи∙p)) → → W(jω) = Кр + Кр/(Tи∙jω);

в

окончательном виде

АФЧХ замкнутой АСР.

Автоматическая система регулирования устойчива, если ее амплитудно-фазовая характеристика

(годограф Михайлова), построенная для замкнутого состояния, при изменении частоты от 0 до ∞, начинаясь на положительной части вещественной оси, обходит в направлении против часовой стрелки, нигде не обращаясь в 0, такое количество квадрантов, каков порядок характеристического уравнения.

условно разомкнутой АСР.
Автоматическая система регулирования устойчива, если ее амплитудно-фазовая характеристика

(годограф Михайлова), построенная для замкнутого состояния, при изменении частоты от 0 до ∞, начинаясь на положительной части вещественной оси, обходит в направлении против часовой стрелки, нигде не обращаясь в 0, такое количество квадрантов, каков порядок характеристического уравнения.

в замкнутом состоянии, если ее амплитудно-фазовая характеристика (годограф Найквиста), построенная

для разомкнутого состояния, при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает точку в комплексной плоскости с координатами {-1, j0}

ΔН – запас устойчивости по амплитуде
Θ – запас устойчивости по фазе

точке (-1, j0), т.е. состоянию АСР на границе устойчивости, то для

нее справедлива система уравнений:

уравнение f (ω, Κᵨ, Τᵤ) = 0 является уравнением пограничного состояния

АСР

Параметрическая область устойчивости – это совокупность значений параметров настройки регулятора , при которых АСР будет устойчивой