Векторная алгебра.Линейные операции над векторами

и конечная точка B, называется направленным отрезком.

Вектором называется любой параллельный

перенос в пространстве.

Определенный так вектор может быть задан с помощью направленного отрезка AB, где А – какая-либо точка пространства, а В – ее образ при данном параллельном переносе.

Два направленных отрезка АВ и CD изображают один и тот же вектор, если их длины равны, прямые (АВ) и (CD) параллельны (в т.ч. совпадают), а направление от А к В одинаково с направлением от C к D.
Таким образом, направленных отрезков, изображающих один и тот же вектор, бесконечное множество.

Векторы. Основные понятия.

же вектор.
♦ Длиной (модулем) вектора
называется длина отрезка AB.
Обозначения:

♦ Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым
и обозначается .
♦ Вектор, длина которого равна единице, называется единичным
(или ортом).

На чертежах вектор

будем обозначать стрелкой с началом

в точке А и концом в точке В:

A

B

изображены направленными отрезками параллельных прямых (в т.ч., одной и той

же прямой).

♦ Три ненулевых вектора называются компланарными, если они могут быть изображены направленными отрезками, принадлежащими параллельным плоскостям (в том числе, одной и той же).

вектор, начало которого лежит в начале вектора a
и конец в

конце вектора b.

Правило параллелограмма

Если векторы отложены от общего начала

и на них построен параллелограмм, то сумма

есть вектор, совпадающий с вектором-диагональю этого параллелограмма, идущей из
общего начала векторов

помощи
последовательного применения правила треугольника.
Другое правило: сумма
векторов
,
, …

строится так:

от произвольной точки 0 откладывают вектор

, затем от конца отложенного

вектора a откладывают вектор

, затем от конца отложенного вектора

откладывают вектор

и т.д. При этом началом вектора суммы

…

служит точка 0, а его концом – конец последнего отложенного вектора

0

(обозначается
). Противоположный вектор
имеет ту же длину, что и вектор
,

но направлен в сторону,

противоположную

♦ Разностью

называется такой вектор

, что

+

=

Легко видеть, что

=

+ (-

).

Т.е. построение разности равносильно прибавлению к одному вектору вектора, противоположного другому.


Свойства сложения векторов:

1.

=

+

2.

(

) +

=

+ (

)

+

3.

+

=

4.

+ (-

)

=

называется вектор
, коллинеарный вектору
, имеющий длину
=│λ│
и

направленный в ту же сторону, что и вектор

, если λ>0,

и в противоположную, если λ<0

(отсюда: если

, λ≠0 то

и

- коллинеарны)

-

Свойства умножения вектора на число:

)

= λ(µ

= (λ+ µ)

= λ(

= λ ∙ 0 = 0

)

1. (λµ)

2. λ + µ

3. λ + λ

4. 0 ∙

=
. Обозначим через А’ и В’ соответственно
проекции точек А и

В на ось L.

Проекцией вектора

на ось L (обозначение: ПрL

называется число,

равное длине вектора

, взятое со знаком «+», если направления вектора

и оси L совпадают, и со знаком «-» в противном случае.

Аналогично определяется проекция вектора на вектор.

Справедлива формула:

=

cosφ , где φ – угол между вектором

и осью L.

осям координат. Они не равны, так как являются единичными векторами

неколлинеарных векторов.

Это разложение единственно!

,

, вектора на оси координат называются координатами вектора

Def: Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Def: Расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

следующем виде:
1)

- скаляр
При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются

на этот скаляр.
2)

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются).

ay; az )
и
= ( bx; by; bz ) :
=
=
=

λ

=>

= λ

или

= λ

3) Векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

осями координат, то cos α, cos β, cos γ называются

направляющими косинусами вектора

Вспоминая

формулу для проекции вектора

на ось, получим:

ax = cosα

ay = cosβ

az = cosγ

Подставив эти формулы в формулу для длины
вектора , получим:

cos2α + cos2β + cos2γ = 1

Направляющие косинусы.