Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые

Эйлера

тремя лучами, исходящими из
одной точки и не лежащей в одной
плоскости.
Рассмотрим

и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая

суммы двух других его плоских углов.

 +  > ;

2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов

 α, β, γ — плоские углы,
A, B, C — двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

3. Первая теорема косинусов
для трёхгранного угла 

4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла 

по одну сторону от плоскости каждой из его граней, называется выпуклым

многоугольников.

это стороны многоугольников.
Вершины многогранника - это вершины многоугольника.
Диагональ многогранника

Элементы многогранника

каждого многоугольника на его поверхности.

фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком

На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.

Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит

На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.

Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми многогранниками.

многоугольниками.
Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника

точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая

Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится

 грань;
«тетра»  4;
«гекса»  6;
«окта» 

Названия многогранников

вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при

Рис. 1

четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.
Правильный

Рис. 2

вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

Рис. 3

вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

Куб (гексаэдр)

Рис. 4

является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при

Рис. 5

увеличенному на 2.
Г + В = Р + 2
Формула

Число граней плюс число вершин минус число рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г + В  Р = 2

Число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот.

его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр.

некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
Кристалл пирита—

Кристаллы поваренной соли передают форму куб.

Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра.

Хрусталь (призма)

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

В молекуле метана имеет форму правильного тетраэдра.

являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
гравюра «Меланхолия»
На переднем плане картины

«Тайная Вечеря»
Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдр.

моделирования.

Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса Нерукотворного —

Спасская башня Кремля.

Александрийский маяк

Пирамиды

Музеи Плодов