ВИТИ НИЯУ МИФИ Векторный и тензорный анализ (Курс лекций) Лекция № 1 кафедра

2015г.

в цилиндрической системах координат (x=-5..5,y=-5..5).
в евклидовом пространстве

евклидовом пространстве

пространстве параллельно его первоначальному положению.
Обычно такие векторы обозначают буквами

латинского алфавита:
Для простоты можно считать; что все эти векторы имеют общую начальную точку; которую мы обозначим буквой О и назовем началам координат.

Правило параллелограмма

У такой, что:

Его длина

Вектор У коллинеарен вектору Х и

имеет с ним одинаковое направление, если

и противоположное, если

следующими свойствами.
1.

2.
З. Существует нулевой вектор 0 такой, что
4. Для каждого вектора х существует противоположный вектор такой, что

6.

7. 8.

линейными (или векторными) пространствами и обозначать их буквой L. Элементы

таких пространств будем называть векторами.
Рассмотрим несколько примеров.
а) Совокупность векторов, лежащих на одной прямой, образует линейное пространство, так как сложение и умножение таких векторов на действительное число приводит нас снова к векторам, лежащим на этой пряной, и свойства 1- 8 выполняются. Обозначим такое линейное пространство через

отношению к сложению и умножению на действительное число; свойства 1

-8 для них выполняются, и поэтому эта совокупность образует линейное пространство, которое мы обозначим через

3) Совокупность всех векторов пространства также является линейным пространством. Обозначим его через

Определим сложение элементов х и
и умножение элемента х на

действительное число
с помощью равенств

Такое множество элементов образует линейное пространство, так как определенные в нем операции сложения и умножения на число обладают, всеми восемью указанными выше свойствами этих операций. Например, нулевым вектором в этом пространстве будет вектор 0 = {0,0,....0}. а вектором -х -вектор
Будем обозначать это пространство через

один вектор) подмножество векторов из L,

которые сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в операций сложения и умножения на число, т. е. такое подмножество , для которого из того, что,
следует, что
Простейшими подпространствами пространства являются подпространство, состоящее из одного нулевого элемента (нулевое подпространство), и все пространство . Эти подпространства называются несобственными.

векторов из L, каждый из которых представляется в виде
где,

L называется
совокупность
всех векторов из L, каждый из которых
принадлежит как

, так и

векторного пространства L и
— действительные числа.
Вектор
называется линейной

комбинацией векторов а, b, ..., е, а числа -коэффициентами этой линейной комбинации.
Если , то х = О.

а, b, ..., е, у которой не все коэффициенты равны

нулю, но которая тем не менее равна нулю. В этом случае векторы а, b, ..., е называются линейно зависимыми. Иначе говоря, эти векторы будут линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа
не все равные нулю, что
Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа равны нулю, то векторы а, b, ..., е называются линейно независимыми.

один из них может быть представлен в виде линейной комбинации

остальных, и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы линейно зависимы.
б) Если некоторые из векторов а, b, с, ..., е линейно зависимы, то и вся эта система векторов линейно зависима.
в) Если среди векторов а, b, с, ..., е имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
Пусть, например, а = О. Тогда

вектор 0 является линейно зависимым, так как при

любом
б) Любой вектор будет линейно независимым, так как только при а=0
в) Два коллинеарных вектора а и b линейно зависимы.
г) Два неколлинеарных вектора линейно независимы.
д) Три компланарных вектора линейно зависимы.
е) Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы.
ж) Любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

наибольшее число имеющихся в нем линейно независимых векторов.

Например, на

прямой существует один линейно независимый вектор, а любые два вектора линейно зависимы. Следовательно, прямая представляет собой одномерное линейное пространство. Мы обозначили его . Здесь нижний индекс как раз означает размерность пространства.

вектора линейно зависимы. Поэтому плоскость является двумерным пространством и обозначается

через
В пространстве существуют три линейно независимых вектора, а любые четыре вектора линейно зависимы. Поэтому размерность пространства равна трем, и мы обозначили его через

векторов
Но любые n + 1 векторов этого пространства будут

линейно зависимыми. Следовательно, размерность этого пространства равна n, и обозначается оно поэтому через

в виде линейной комбинации линейно независимых векторов
Совокупность этих векторов

называется базисом n-мерного линейного пространства, а числа - координатами вектора x в этом базисе. Любые n линейно независимых векторов могут быть приняты за базис пространства

в виде
где - произвольный отличный

от нуля вектор этой прямой.
На плоскости вектор х может быть представлен в виде

где и — любые два неколлинеарных вектора этой плоскости.
В трехмерном пространстве любой вектор х может быть представлен в виде

где -любые три некомпланарных вектора пространства.

в виде