Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Волновое уравнение
Содержание
- 1. Волновое уравнение
- 2. В общем случае движение частиц вещества (атомов
- 3. Существует несколько способов вызвать согласованное колебательное движение
- 4. Будем считать среду сплошной и непрерывной (т.е.
- 5. ВолнаВолна – это процесс распространения в пространстве
- 6. Волновой фронт. Волновая поверхностьВолновым фронтом называется
- 7. Волновой фронт и волновая поверхность: различияИмеются следующие
- 8. Классификация волн по виду волновой поверхностиВолна называется
- 9. Плоские, сферические и цилиндрические волны
- 10. Характеристики волн
- 11. Характеристики волнПусть v – скорость движения волнового
- 12. Характеристики волнВолновое число k – величина, равная
- 13. Уравнение плоской волныОбозначим буквой ξ величину смещения
- 14. Уравнение плоской волныУравнение волны – это функция,
- 15. Плоская волнаРассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси
- 16. Уравнение плоской волныЕсли волна распространяется со скоростью
- 17. Уравнение плоской волныЗдесь: A – амплитуда волны;
- 18. Фазовая скорость волныФазовой скоростью vф волны называется
- 19. Уравнение колебаний и профиль волныНа рисунке
- 20. Уравнение волны, распространяющейся в произвольном направленииРассмотрим
- 21. Уравнение волны, распространяющейся в произвольном направленииКолебания
- 22. Уравнение волны, распространяющейся в произвольном направленииПоскольку
- 23. Уравнение волны, распространяющейся в произвольном направленииТаким
- 24. Волновое уравнениеВолновым уравнением называется дифференциальное уравнение, решением
- 25. Волновое уравнениеВычислим вторую производную от ξ по
- 26. Волновое уравнениеТеперь сложим последние три равенства:
- 27. Волновое уравнениеВыразив из первого и последнего уравнений ξ и приравняв их друг другу, получим:
- 28. Волновое уравнениеУчитывая, что k = ω/v, где
- 29. 2.2 Энергия упругих волн. Перенос энергии упругой волнойЛЕКЦИЯ 2. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
- 30. Энергия упругих волнДля вычисления энергии упругой волны
- 31. Энергия упругих волнПотенциальная энергия деформированного объема ΔV
- 32. Энергия упругих волнНа практике большой интерес представляет
- 33. Пусть в пространстве распространяется упругая волна и
- 34. Для количественного описания процесса переноса энергии волной
- 35. Вектор плотности потока энергии j – произведение
- 36. Вектор УмоваУстановим связь между вектором j и
- 37. Плотность потока энергииТаким образом, модуль плотности потока
- 38. Интенсивность волныИнтенсивность волны I – скалярная величина,
- 39. Интенсивность упругой гармонической волныВычислим интенсивность упругой волны:Таким образом, интенсивность I волны пропорциональная квадрату ее амплитуды A.
- 40. 2.3 Стоячая волнаЛЕКЦИЯ 2. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
- 41. Стоячая волна образуется при наложении двух плоских
- 42. Уравнение волны, образующейся в результате наложения двух
- 43. Тогда уравнение бегущей волны в переменных x′
- 44. Профиль стоячей волныПучности стоячей волны – это
- 45. Профиль стоячей волныУзлами стоячей волны называются точки
- 46. Профиль стоячей волныНа рисунке представлен профиль стоячей
- 47. Профиль стоячей волныМожно показать, что за период
- 48. Скачать презентанцию
В общем случае движение частиц вещества (атомов и молекул) хаотично, т.е. не существует какого-то выделенного (преимущественного) направления движения: - в твердых телах атомы и молекулы колеблются около положений равновесия; - в жидкостях молекулы
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2В общем случае движение частиц вещества (атомов и молекул) хаотично,
т.е. не существует какого-то выделенного (преимущественного) направления движения:
- в твердых
телах атомы и молекулы колеблются около положений равновесия;- в жидкостях молекулы находятся большую часть времени вблизи положения равновесия, совершая тепловые колебания, но время от времени скачкообразно перемещаются из одного такого положения в другое;
- в газах молекулы движутся поступательно, периодически изменяя направления своего движения в результате столкновений с другими молекулами
Колебательное движение
в веществе
Слайд 3Существует несколько способов вызвать согласованное колебательное движение частиц вещества.
Именно так
обстоит дело при распространении звука в различных средах.
Например, колебания
упругой мембраны громкоговорителя или голосовых связок человека порождаю согласованное колебательное движение расположенных рядом с источником звука молекул воздуха. Возникают сменяющие друг друга состояния сжатия и разряжения газовой среды, которые передаются в другие области заполненного воздухом объема. Говорят, что в воздухе распространяется звуковая (акустическая) волна.Волна
Слайд 4Будем считать среду сплошной и непрерывной (т.е. мельчайшие структурные частицы
вещества – атомы, ионы, молекулы – расположены очень близко друг
к другу; в любом элементарном объеме вещества находится огромное количество частиц, а в любой произвольно выбранной точке заполненного веществом пространства обязательно имеется частица).Будем также считать среду упругой: она оказывает сопротивлением растяжению или сжатию, и возможно – сдвигу – относительному перемещению граничащих друг с другом частей среды вдоль поверхности их соприкосновения.
Упругая среда
Слайд 5Волна
Волна – это процесс распространения в пространстве колебаний частиц упругой
среды, при котором сами частицы совершают малые колебания около положений
их равновесия и не перемещаются по всему заполненному упругой средой объему.Волна называется:
продольной, если направление колебаний частиц среды совпадает с направлением распространения волны (в жидкостях, газах и твердых телах);
поперечной, если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны (в твердых телах).
Слайд 6Волновой фронт.
Волновая поверхность
Волновым фронтом называется поверхность, отделяющая область пространства,
вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания частиц
среды еще не возникли.Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых в процессе распространения волны колебания доходят в один и тот же момент времени t.
Волновая поверхность – поверхность, которая проходит через положения равновесия частиц среды, колеблющихся в одинаковой фазе.
Слайд 7Волновой фронт и волновая поверхность: различия
Имеются следующие различия между волновым
фронтом и волновой поверхностью:
волновой фронт перемещается в пространстве, а волновая
поверхность остается неподвижной;распространяющаяся в пространстве волна в каждый момент времени имеет один единственный волновой фронт, а волновых поверхностей у каждой волны бесконечное множество;
волновой фронт совпадает с одной из волновых поверхностей.
Слайд 8Классификация волн по виду волновой поверхности
Волна называется плоской, если ее
волновые поверхности представляют собой плоскости; сферической или цилиндрической – если
волновые поверхности имеют сферическую или цилиндрическую форму соответственно.
Слайд 11Характеристики волн
Пусть v – скорость движения волнового фронта (фазовая скорость
волны), n – единичный вектор нормали к волновой поверхности (показывает
направление распространения волны), ω – циклическая частота колебаний источника волны (частиц упругой среды), ν – линейная частота колебаний частиц упругой среды, T = ν-1 – период колебаний.Длина волны λ - расстояние, на которое распространяется волна за время, равное одному периоду колебаний частиц среды:
Слайд 12Характеристики волн
Волновое число k – величина, равная отношению циклической частоты
ω к скорости волны v:
Другое выражения для волнового числа:
Волновой вектор
k – вектор, модуль которого равен волновому числу k, а направление совпадает с направлением нормали n к волновой поверхности
Слайд 13Уравнение плоской волны
Обозначим буквой ξ величину смещения из положения равновесия
частицы упругой среды, совершающей колебания в процессе распространения волны; буквами
x, y, z обозначим пространственные координаты точки, которая является положением равновесия этой частицы
Слайд 14Уравнение плоской волны
Уравнение волны – это функция, описывающая зависимость величины
смещения ξ колеблющейся частицы от координат x, y, z этой
частицы и времени t:Направление смещения частицы может совпадать с направлением распространения волны (продольная волна) или быть перпендикулярным этому направлению (поперечная волна)
Слайд 15Плоская волна
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси X: в такой
волне частицы среды, расположенные в плоскости x = const, колеблются
одинаково, т.е. в любой момент времени у них одинакова величина смещения ξ из положения равновесия.В этом случае ξ является функцией только координаты x и времени t:
Если колебания частиц – гармонические, то уравнение колебаний частиц, расположенных в плоскости x = 0 (источник) описываются функцией
Слайд 16Уравнение плоской волны
Если волна распространяется со скоростью v в положительном
направлении оси X, то колебания частиц, расположенных в плоскости x
= const будут отставать по времени от колебаний частиц в плоскости x = 0 на величину τ = x/v:Полученное уравнение представляет собой уравнение плоской гармонический волны, распространяющейся в положительном направлении оси X:
Слайд 17Уравнение плоской волны
Здесь:
A – амплитуда волны;
ω – циклическая
частота колебаний источника (частиц среды),
k = ω/v – волновое
число, ωt – kx + ϕ0 – фаза волны,
ϕ0 – начальная фаза (определяется выбором начала отсчета координаты x и времени t).
Слайд 18Фазовая скорость волны
Фазовой скоростью vф волны называется скорость перемещения в
пространстве поверхности постоянной фазы волны.
Фазовую скорость плоской гармонической волны можно
определить, записав условие постоянства ее фазы:Это равенство представляет собой уравнение плоскости в пространстве, скорость перемещения которой и является фазовой скоростью волны:
В гармонической волне фазовая скорость совпадает со скоростью ее распространения:
Слайд 19Уравнение колебаний
и профиль волны
На рисунке представлены графики зависимости функции
ξ(x,t) от времени t (уравнение колебания частицы в точке с
координатой x) и координаты x (профиль волны).
Слайд 20Уравнение волны, распространяющейся
в произвольном направлении
Рассмотрим плоскую волну, волновой вектор
которой k направлен под углами α, β и γ к
соответствующим осям X, Y и Z декартовой системы координат.Уравнение колебаний частиц, расположенных на волновой поверхности, проходящей через начало координат:
Слайд 21Уравнение волны, распространяющейся
в произвольном направлении
Колебания частиц, положения равновесия которых
принадлежат другой волновой поверхности, отстоящей на расстояние l первой, запаздывают
по времени на величину τ = l/v, где v – скорость волны:
Слайд 22Уравнение волны, распространяющейся
в произвольном направлении
Поскольку расстояние l можно представить
в виде l = r⋅n, где r – радиус-вектор произвольной
точки рассматриваемой волновой поверхности, n – вектор нормали к ней, то
Слайд 23Уравнение волны, распространяющейся
в произвольном направлении
Таким образом, уравнение плоской гармонической
волны, распространяющейся в произвольном направлении, заданном единичным вектором n или
волновым вектором k, имеет вид
Слайд 24Волновое уравнение
Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение
распространяющейся в пространстве плоской (сферической, цилиндрической и т.д.) волны.
Получим волновое
уравнение путем дифференцирования одного из его решений, например, уравнения плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении:
Слайд 25Волновое уравнение
Вычислим вторую производную от ξ по времени t и
вторые производные от ξ по координатам x, y, z:
Слайд 27Волновое уравнение
Выразив из первого и последнего уравнений ξ и приравняв
их друг другу, получим:
Слайд 28Волновое уравнение
Учитывая, что k = ω/v, где v – фазовая
скорость волны, получим волновое уравнение:
Можно показать, что любая функция вида
тоже
является решением волнового уравнения.
Слайд 30Энергия упругих волн
Для вычисления энергии упругой волны выделим в среде,
где распространяется волна, малый объем ΔV, масса которого равна ρΔV,
где ρ – плотность вещества среды.Пусть плоская продольная волна распространяется вдоль оси X:
Благодаря волне объем ΔV приобретает скорость и кинетическую энергию:
Слайд 31Энергия упругих волн
Потенциальная энергия деформированного объема ΔV равна
Полная энергия объема
ΔV:
Объемная плотность энергии упругой волны составит величину:
Слайд 32Энергия упругих волн
На практике большой интерес представляет не мгновенное, а
среднее по времени значение объемной плотности энергии:
Энергия упругой волны пропорциональна
квадрату ее амплитуды.
Слайд 33Пусть в пространстве распространяется упругая волна и задана некоторая поверхность
S. Частицы упругой среды, вовлеченные в волновой процесс, обладают дополнительной
энергией, обусловленной их упорядоченным согласованным движением. Таким образом, энергия упругой волны – это энергия согласованного колебательного движения частиц среды.В процессе своего распространения волна переносит энергию из областей пространства, вовлеченных в волновой процесс, в области, где колебания частиц еще не возникли. Таким образом, имеет место процесс переноса энергии.
Поток энергии волны
Слайд 34Для количественного описания процесса переноса энергии волной вводятся понятия потока
энергии, вектора плотности потока энергии и интенсивности волны.
Поток энергии Ф
– количество энергии, переносимой волной за единицу времени через заданную площадь S:где dW – количество энергии, переносимой волной через поверхность S за промежуток времени dt.
Единица потока энергии – ватт (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с.
Поток энергии волны
Слайд 35Вектор плотности потока энергии j – произведение объемной плотности энергии
волны w, скорости распространения волны v и единичного вектора нормали
n в направлении распространения волны:Единица плотности потока энергии – ватт на метр в квадрате (Вт/м2).
Общие представления о потоке энергии в пространстве были введены Н.А. Умовым (1846 – 1915). Вектор плотности потока энергии без конкретизации ее физической природы называется вектором Умова.
Поток энергии волны
Слайд 36Вектор Умова
Установим связь между вектором j и потоком Φ. Для
этого найдем поток dΦ энергии волны через произвольную площадку dS,
расположенную под углом α к направлению распространения волны:
Слайд 37Плотность потока энергии
Таким образом, модуль плотности потока энергии j равен
потоку энергии, переносимому волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению
распространения волныПоток энергии Φ через произвольную поверхность S может быть найден, если известен вектор j в каждой точке этой поверхности:
Слайд 38Интенсивность волны
Интенсивность волны I – скалярная величина, равная модулю среднего
по времени вектора плотности потока энергии:
Таким образом, интенсивность волны I
равна произведению средней по времени объемной плотности энергии волны и скорости волны.
Слайд 39Интенсивность упругой гармонической волны
Вычислим интенсивность упругой волны:
Таким образом, интенсивность I
волны пропорциональная квадрату ее амплитуды A.
Слайд 41Стоячая волна образуется при наложении двух плоских волн одинаковой частоты
и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу:
При наложении двух волн любая
частица среды одновременно участвует в двух колебательных движениях, описываемых этими уравнениями. Результирующее смещение частицы из положения равновесия ξ равно сумме смещений ξ1 и ξ2, вызванных каждой из бегущих волн:Стоячая волна
Слайд 42Уравнение волны, образующейся в результате наложения двух плоских волн, т.е.
уравнение стоячей волны:
Изменим начало отсчета координаты x и момента начала
времени t, заменив переменные:Уравнение стоячей волны
Слайд 43Тогда уравнение бегущей волны в переменных x′ и t′ примет
вид:
Таким образом показано, что уравнение стоячей волны всегда может быть
приведено к видуИз уравнения видно, что частицы упругой среды совершают гармонические колебания с циклической частотой ω, амплитуда которых |2Acoskx| зависит от координаты x положения равновесия колеблющейся частицы.
Уравнение стоячей волны
Слайд 44Профиль стоячей волны
Пучности стоячей волны – это точки пространства, которые
являются положениями равновесия частиц среды, совершающих колебания с максимальной амплитудой
(2A)Максимальное значение амплитуды |2Acoskx| достигается при условии: |coskx| = 1, из которого можно определить положение пучностей в пространстве:
Расстояние между двумя соседними пучностями равно половине длины волны: Δx(пуч.) = λ/2.
Слайд 45Профиль стоячей волны
Узлами стоячей волны называются точки пространства, которые являются
положения равновесия частиц упругой среды с нулевой амплитудой колебаний (0).
Амплитуда
|2Acoskx| = 0 достигается при условии: |coskx| = 0, из которого можно определить положение узлов в пространстве:Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны: Δx(узл.) = λ/2.
Слайд 46Профиль стоячей волны
На рисунке представлен профиль стоячей волны в разные
моменты времени, разделенные промежутком в 1/16 периода колебаний T.
Видно, что
частицы, расположенные в узлах, не колеблются, а частицы пучностей волны – колеблются с максимальной амплитудой.
Слайд 47Профиль стоячей волны
Можно показать, что за период колебаний дважды происходит
превращение энергии стоячей волны из полностью потенциальной, сосредоточенной вблизи узлов
волны, в полностью кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны.В результате энергия переходит от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии, переносимой стоячей волной, в любом перпендикулярном оси X сечении волны равен нулю (в стоячей волне нет переноса энергии)
