Выполнил студент факультета информатики, математики и физики 34 группы Русанов

Григорьевич.
Кватернионы

в 1843 англ. учёным У. Гамильтоном.
Кватернионы возникли при попытках

найти обобщение комплексных чисел х + iy, где х и у— действительные числа, i — базисная единица с условием I2 = -1Как известно, комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям).

3-мерного пространства, привели к установлению того, что из точек пространства

трёх и выше трёх измерений нельзя «устроить» числовую систему, в которой алгебраические операции сохраняли бы все свойства сложения и умножения действительных или комплексных чисел.
Из точек пространства четырех измерений можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и даже выше измерений нельзя устроить даже такой системы чисел). Числа, реализуемые в 4-мерном пространстве и называются кватернионами.

j, k:
X= 1+x1+x2j+x3k, где хо, х1, x2,

х3 — действительные числа.
Кватернионы производятся по обычным правилам действия над многочленами относительно 1, i, j, k (нельзя лишь пользоваться переместительным законом умножения) с учётом правил умножения базисных единиц.

X=xo+x1i+x2j+x3k.   В Кватернионе различают скалярную часть хо

и векторную часть V
  V= x1i +x2j+x3k, так что X=xo+V.   Если хо = 0, то кватернион V наз. вектором; он может отождествляться с обычными 3-мерными векторами .

числе, призванное играть в науке столь же значительную роль, как

и комплексные числа.
Эта точка зрения подкреплялась и тем, что были найдены приложения Кватернионы к электродинамике и механике. Однако векторное исчисление в его современной форме вытеснило Кватернионы из этих областей. Ясно, что роль Кватернионы ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения в различных отраслях науки и техники.

числа - кватернионов. Обсуждаются основные операции над кватернионами, прослежена связь

с векторами и комплексными числами.
Определим операции над двумя кватернионами Q1 = s1 + v1 и Q2 = s2 + v2 .
1) Сложение:
Q = Q1 + Q2 = (s1 + s2) + (v1 + v2).
Сложение двух кватернионов осуществляется путем сложения всех его компонент.

обычных распределительных законов с учетом соотношений и дает следующую формулу:

Q

= Q1Q2 = s1s2 + s2v1 + s1v2 + a1i(a2i + b2 j + c2k) +
+ b1 j(a2i + b2 j + c2k) + c1k(a2i + b2 j + c2k) =
= s1s2 + s2v1 + s1v2 - a1a2 + a1b2k - a1c2 j - b1a2k -
- b1b2 + b1c2i + c1a2 j - c1b2i - c1c2 =
= s1s2+ s2v1 + s1v2 - v1 " v2 + v1 i v2 ,

где введены операции скалярного и векторного произведений векторов
.

= s + ai + bj + ck,
если

= s - (ai + + bj + ck). В этом случае произведение есть число, равное квадрату модуля кватерниона
Q: | Q | 2 = = s2 + a2 + b2 + c2.
Нетрудно видеть, что квадрат модуля кватерниона равен сумме квадратов его компонент. Это свойство аналогично такому же свойству для векторов, однако существенное отличие от векторов подчеркивает следующее свойство.

Обратным по отношению к кватерниону Q называется кватернион Q-1, обладающий

свойством
QQ-1 = Q-1Q = 1.
Очевидно, что обратный находится по следующему правилу, весьма похожему на правило нахождения обратного к комплексному числу.

От кватернионов ожидали таких же результатов, как от комплексных чисел,

и даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд важных физических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие алгебраического и функционального исчисления кватернионов не оправдались.

сыну Гамильтон писал:
“Это был 16-й день

октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда,

мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем

открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября”.

прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям

Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов.