Выпуклые функции – определение. Понятие о точке перегиба, необходимое условие

студентка 1 курса Наумова А.
Группа: ИИЯ-19
Преподаватель(проверила): Волкова Н.А.

Министерство науки и

высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н.Ульянова»

интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на

этом интервале.
График функции y=f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

функции y=f(x), отделяющая его части разной выпуклости.
Из этого определения следует,

что точки перегиба — это точки точки экстремума первой производной.

отрицательную вторую производную, т.е. f″(x)

выпуклый вверх. Если же f″(x)>0 ꓯx∈ (a;b)- график выпуклый вниз.

Доказательство. Пусть f″(x)<0 ꓯx∈ (a;b).
Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой xₒ ∈ (a;b).
Проведем через точку М касательную.
Сравним в точке x∈ (a;b) ординату y кривой y=f(x) с ординатой y ее касательной.

Исследуем это равенство:

дважды дифференцируемой функции y=f(x), необходимо, чтобы ее вторая производная в

этой точке равнялась нулю( f″(xₒ)=0) или не существовала.

некоторой окрестности точки xₒ(непрерывная в точке xₒ),то f″(xₒ)=0.
Доказательство:
Докажем методом

от противного, т.е предположим, что  f″(xₒ)≠0. Тогда f″(xₒ)<0 либо f″(xₒ)>0 .
По условию f″ непрерывна в точке xₒ→по свойству сохранения знака непрерывной функции получим :
Ǝδ:ꓯx ∈ U(δ) (xₒ), sign f″(x)= sign f″(xₒ)
т.е. по достаточному условию строгой выпуклости f″(x)>0 ꓯx ∈ (a;b) (функция выпукла вниз) или f″(x)<0 ꓯx ∈ (a;b)(функция выпукла вверх).
Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку xₒ направление выпуклости меняется.