Слайд 1Задача №5.
Работу подготовили:
1 Федорова А
2 Ахманов И
Слайд 2Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек
C имеет вид
, где q- объём производства.
Используя методы дифференциального исчисления:
1) выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы П от объема производства q построить ее график.
2) Найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.
a=50; b=0,001; c=30; p=60
Слайд 3Решение.
Учитывая, что прибыль представляет собой разность между доходом и издержками,
и подставляя численные данные, получаем явный вид зависимости прибыли от
объема производства:
Слайд 41) Выполняем полное исследование функции П(q)
Слайд 51.1. Область определения D(П)=[0;+∞].
Слайд 61.2. Находим первую и вторую производную П’(q) и П’’(q)
П’(q)=(10q-0,001q^3)’=10-0,003q^2
П’’(q)=(10-0,003q^2)’=-0,006q
Слайд 71.3. Находим критические точки, решая уравнение П’(q)=0
10-0,003q^2=0
q=57,7
Слайд 81.4. Наносим критическую точку на числовую ось, и находим знак
первой производной на каждом из получившихся интервалов:
q
57,7
0
Из рисунка делаем выводы
о том, что функция возрастает при q€(0;57,7), а убывает при q€(57,7;+∞),; в точке q=57,7функция имеет максимум.
Вычислим значение функции в этой точке:
П(57,7)=355
Слайд 91.5. Найдем точку перегиба графика функции, решая уравнение П’’(q)=0
Так
как случай q=0 не представляет практического интереса, будем считать, что
график функции точек перегиба не имеет.
Слайд 101.6. Найдем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на
каких—вогнутый.
Так как
на всей области определения, делаем вывод о том, что график функции выпуклый на всей области определения.
Слайд 111.7. Сводим все полученные результаты в итоговую таблицу:
Таблица 1.
Слайд 121.8. Строим схематический график функции.
Рис.2.
График зависимости прибыли от объема
выпуска продукции.
Слайд 132) Очевидно, что оптимальным для фирмы является объем выпуска, равный
57,7, при этом прибыль будет максимальна и составит 354.
Ответ в
данной задаче нет необходимости выписывать отдельно, так как он фактически содержится в таблице 1.
![1.1. Область определения D(П)=[0;+∞].](/img/thumbs/e66ca6684ac5ce64c6ea6c509e87f4be-800x.jpg "Задача №5 1.1. Область определения D(П)=[0;+∞].")
